Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно вектору BC, и параметрическое уравнение медианы BD

Предмет: Аналитическая геометрия

Раздел: Уравнения плоскости и параметрическое задание прямой

Дано:
Точка ( A(7; -5; 0) ), точки ( B(8; 5; -1) ) и ( C(8; 5; 1) ).

Нужно:

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку ( A ) и перпендикулярной вектору ( \overrightarrow{BC} ).
2. Найти параметрическое уравнение медианы ( BD ), где ( D ) — середина отрезка ( AC ).

Шаг 1. Уравнение плоскости, проходящей через точку ( A ) и перпендикулярной вектору ( \overrightarrow{BC} )

Найдем вектор ( \overrightarrow{BC} ):

Вектор ( \overrightarrow{BC} ) определяется как разность координат точек ( C ) и ( B ):
[ \overrightarrow{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B). ]
Подставим данные:
[ \overrightarrow{BC} = (8 - 8; 5 - 5; 1 - (-1)) = (0; 0; 2). ]
Итак, ( \overrightarrow{BC} = (0; 0; 2) ).

Уравнение плоскости:

Общее уравнение плоскости имеет вид:
[ n_1(x - x_0) + n_2(y - y_0) + n_3(z - z_0) = 0, ]
где ( (n_1, n_2, n_3) ) — координаты нормального вектора, а ( (x_0, y_0, z_0) ) — точка, через которую проходит плоскость.

Так как плоскость перпендикулярна ( \overrightarrow{BC} ), то нормальный вектор плоскости совпадает с ( \overrightarrow{BC} ): ( (n_1, n_2, n_3) = (0, 0, 2) ).
Плоскость проходит через точку ( A(7, -5, 0) ). Подставим данные в уравнение:
[ 0 \cdot (x - 7) + 0 \cdot (y + 5) + 2 \cdot (z - 0) = 0. ]
Упростим:
[ 2z = 0 \quad \Rightarrow \quad z = 0. ]

Итак, уравнение плоскости:
[ z = 0. ]

Шаг 2. Параметрическое уравнение медианы ( BD )

Найдем координаты точки ( D ):

Точка ( D ) — середина отрезка ( AC ). Координаты середины находятся по формуле:
[ x_D = \frac{x_A + x_C}{2}, \quad y_D = \frac{y_A + y_C}{2}, \quad z_D = \frac{z_A + z_C}{2}. ]
Подставим координаты точек ( A(7; -5; 0) ) и ( C(8; 5; 1) ):
[ x_D = \frac{7 + 8}{2} = \frac{15}{2}, \quad y_D = \frac{-5 + 5}{2} = 0, \quad z_D = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2}. ]
Таким образом, ( D\left(\frac{15}{2}; 0; \frac{1}{2}\right) ).

Параметрическое уравнение прямой ( BD ):

Прямая ( BD ) задается параметрически:
[ x = x_B + t(x_D - x_B), \quad y = y_B + t(y_D - y_B), \quad z = z_B + t(z_D - z_B), \quad t \in \mathbb{R}. ]
Подставим координаты точек ( B(8; 5; -1) ) и ( D\left(\frac{15}{2}; 0; \frac{1}{2}\right) ):
[ x = 8 + t\left(\frac{15}{2} - 8\right), \quad y = 5 + t(0 - 5), \quad z = -1 + t\left(\frac{1}{2} - (-1)\right). ]
Упростим каждую координату:
[ x = 8 + t\left(\frac{15}{2} - \frac{16}{2}\right) = 8 - t\left(\frac{1}{2}\right) = 8 - \frac{t}{2}, ]
[ y = 5 - 5t, ]
[ z = -1 + t\left(\frac{1}{2} + 1\right) = -1 + t\left(\frac{3}{2}\right) = -1 + \frac{3t}{2}. ]

Итак, параметрическое уравнение медианы ( BD ):
[ x = 8 - \frac{t}{2}, \quad y = 5 - 5t, \quad z = -1 + \frac{3t}{2}, \quad t \in \mathbb{R}. ]

Ответ:

1. Уравнение плоскости:
   [ z = 0. ]
2. Параметрическое уравнение медианы ( BD ):
   [ x = 8 - \frac{t}{2}, \quad y = 5 - 5t, \quad z = -1 + \frac{3t}{2}, \quad t \in \mathbb{R}. ]