Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки

Данная задача относится к предмету аналитической геометрии, разделу уравнения плоскости в пространстве. Теперь шаг за шагом разберем, как составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки: \( A(3;4;2) \), \( B(-1;0;2) \) и \( C(3;-2;1) \).

Шаг 1. Уравнение плоскости в общем виде

Общее уравнение плоскости задается выражением: \[ Ax + By + Cz + D = 0, \]

где \( A \), \( B \), \( C \) — координаты нормального вектора к плоскости \(\vec{n} = (A, B, C)\), а \( D \) — свободный член.

Чтобы составить уравнение плоскости, нужно найти нормальный вектор, перпендикулярный трем данным точкам, и подставить координаты одной из точек для определения \( D \).

Шаг 2. Векторы на плоскости

Для нахождения нормального вектора к плоскости составим два вектора, лежащих в этой плоскости. Это могут быть: \[ \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}, \quad \vec{AC} = \vec{C} - \vec{A}. \]

Найдем координаты этих векторов:

1. Вектор \(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (-1 - 3; 0 - 4; 2 - 2) = (-4; -4; 0)\),
2. Вектор \(\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (3 - 3; -2 - 4; 1 - 2) = (0; -6; -1)\).

Шаг 3. Нормальный вектор через векторное произведение

Нормальный вектор \( \vec{n} \) к плоскости можно найти через векторное произведение \( \vec{AB} \times \vec{AC} \). Для этого используем формулу для векторного произведения:

\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & -4 & 0 \\ 0 & -6 & -1 \end{vmatrix}. \]

Рассчитаем узелково (по правилу миноров):

\[ \vec{n} = \vec{i} \cdot \begin{vmatrix} -4 & 0 \\ -6 & -1 \end{vmatrix} - \vec{j} \cdot \begin{vmatrix} -4 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} + \vec{k} \cdot \begin{vmatrix} -4 & -4 \\ 0 & -6 \end{vmatrix}. \]

Теперь вычисляем миноры:

1. \(\begin{vmatrix} -4 & 0 \\ -6 & -1 \end{vmatrix} = (-4)(-1) - (0)(-6) = 4\),
2. \(\begin{vmatrix} -4 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = (-4)(-1) - (0)(0) = 4\),
3. \(\begin{vmatrix} -4 & -4 \\ 0 & -6 \end{vmatrix} = (-4)(-6) - (-4)(0) = 24\).

Подставляем миноры в выражение для векторного произведения:

\[ \vec{n} = 4\vec{i} - 4\vec{j} + 24\vec{k}. \]

Запишем нормальный вектор: \(\vec{n} = (4; -4; 24)\).

Шаг 4. Уравнение плоскости

Найденный нормальный вектор \( \vec{n} = (4; -4; 24) \) дает нам коэффициенты \( A = 4 \), \( B = -4 \), \( C = 24 \) в уравнении плоскости:

\[ 4x - 4y + 24z + D = 0. \]

Осталось найти \( D \). Для этого подставим в уравнение координаты одной из точек, например, \( A(3; 4; 2) \):

\[ 4(3) - 4(4) + 24(2) + D = 0. \]

Выполним вычисления:

\[ 12 - 16 + 48 + D = 0, \]

\[ 44 + D = 0, \]

\[ D = -44. \]

Шаг 5. Окончательное уравнение плоскости

Подставим \( D = -44 \) в уравнение:

\[ 4x - 4y + 24z - 44 = 0. \]

Упростим уравнение, разделив его на 4:

\[ x - y + 6z - 11 = 0. \]

Ответ: Уравнение плоскости

\[ x - y + 6z - 11 = 0. \]

Если остались вопросы, готов разъяснить!