Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(2;3;4) и линию пересечения плоскостей

Давайте разберем задачу пошагово. Мы определим предмет, раздел, а затем выполним задание с полными объяснениями.

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия в пространстве

Задание: Составить уравнение плоскости, которая проходит через заданную точку \( A(2;3;4) \) и линию пересечения двух плоскостей.

Даны плоскости:

1. \(-x + y - 2z + 1 = 0,\)
2. \(2x + y - 3z = 0.\)

Решение:

Шаг 1. Найдем направляющий вектор линии пересечения двух плоскостей.

Линия пересечения двух плоскостей задается пересечением двух уравнений. Для направления линии пересечения найдем векторное произведение нормальных векторов данных плоскостей.

Нормальные векторы плоскостей извлекаются из их уравнений:

• Для плоскости \(-x + y - 2z + 1 = 0\), нормальный вектор: \(\mathbf{n_1} = (-1, 1, -2).\)
• Для плоскости \(2x + y - 3z = 0\), нормальный вектор: \(\mathbf{n_2} = (2, 1, -3).\)

Теперь найдем их векторное произведение \(\mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2}\):

\[ \mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix}. \]

Раскроем определитель:

\[ \mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2} = \mathbf{i} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \cdot \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}. \]

Вычислим каждый из малых определителей:

\[ \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = (1)(-3) - (1)(-2) = -3 + 2 = -1, \]

\[ \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = (-1)(-3) - (2)(-2) = 3 + 4 = 7, \]

\[ \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (-1)(1) - (2)(1) = -1 - 2 = -3. \]

Подставим обратно:

\[ \mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2} = \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(7) + \mathbf{k}(-3), \]

\[ \mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2} = (-1, -7, -3). \]

Итак, направляющий вектор линии пересечения:

\[ \mathbf{d} = (-1, -7, -3). \]

Шаг 2. Найдем точку, лежащую на линии пересечения плоскостей.

Для этого решим систему уравнений данных плоскостей:

\[ \begin{cases} -x + y - 2z + 1 = 0, \\ 2x + y - 3z = 0. \end{cases} \]

Выразим \(y\) из второго уравнения:

\[ y = -2x + 3z. \]

Подставим это выражение для \(y\) в первое уравнение:

\[ -x + (-2x + 3z) - 2z + 1 = 0. \]

Упростим:

\[ -3x + z + 1 = 0. \]

Выразим \(z\) через \(x\):

\[ z = 3x - 1. \]

Теперь подставим \(z = 3x - 1\) в выражение для \(y\):

\[ y = -2x + 3(3x - 1), \]

\[ y = -2x + 9x - 3, \]

\[ y = 7x - 3. \]

Итак, наша параметризация линии пересечения:

\[ x = x, \quad y = 7x - 3, \quad z = 3x - 1. \]

Для упрощения выберем \(x = 0\):

\[ x = 0, \quad y = 7(0) - 3 = -3, \quad z = 3(0) - 1 = -1. \]

Точка на линии пересечения:

\[ B(0, -3, -1). \]

Шаг 3. Составим уравнение плоскости.

Плоскость должна проходить через точку \(A(2, 3, 4)\) и содержать линию пересечения. Для этого ее нормальный вектор \(\mathbf{n}\) должен быть перпендикулярен как направляющему вектору линии пересечения (\(\mathbf{d} = (-1, -7, -3)\)), так и направлению отрезка \(AB\) (\(\mathbf{AB} = (0 - 2, -3 - 3, -1 - 4) = (-2, -6, -5)\)).

Чтобы найти \(\mathbf{n}\), возьмем векторное произведение \(\mathbf{AB} \times \mathbf{d}\):

\[ \mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & -6 & -5 \\ -1 & -7 & -3 \end{vmatrix}. \]

Вычислим определитель:

\[ \mathbf{n} = \mathbf{i} \cdot \begin{vmatrix} -6 & -5 \\ -7 & -3 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \cdot \begin{vmatrix} -2 & -5 \\ -1 & -3 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \cdot \begin{vmatrix} -2 & -6 \\ -1 & -7 \end{vmatrix}. \]

Малые определители:

\[ \begin{vmatrix} -6 & -5 \\ -7 & -3 \end{vmatrix} = (-6)(-3) - (-5)(-7) = 18 - 35 = -17, \]

\[ \begin{vmatrix} -2 & -5 \\ -1 & -3 \end{vmatrix} = (-2)(-3) - (-5)(-1) = 6 - 5 = 1, \]

\[ \begin{vmatrix} -2 & -6 \\ -1 & -7 \end{vmatrix} = (-2)(-7) - (-6)(-1) = 14 - 6 = 8. \]

Подставим обратно:

\[ \mathbf{n} = \mathbf{i}(-17) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(8), \]

\[ \mathbf{n} = (-17, -1, 8). \]

Шаг 4. Составим уравнение плоскости.

Уравнение плоскости:

\[ n_1(x - x_0) + n_2(y - y_0) + n_3(z - z_0) = 0, \]

где \((x_0, y_0, z_0)\) — точка на плоскости, а \((n_1, n_2, n_3)\) — нормальный вектор.

Подставим точку \(A(2, 3, 4)\) и \(\mathbf{n} = (-17, -1, 8)\):

\[ -17(x - 2) - 1(y - 3) + 8(z - 4) = 0. \]

Упростим:

\[ -17x + 34 - y + 3 + 8z - 32 = 0, \]

\[ -17x - y + 8z + 5 = 0. \]

Итак, уравнение искомой плоскости:

\[ \boxed{-17x - y + 8z + 5 = 0.} \]