Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку и перпендикулярна к прямой

Предмет: Аналитическая геометрия
Раздел: Уравнение плоскости

Условие задачи:

Нужно составить уравнение плоскости, которая проходит через точку ( D(-1, 0, 2) ) и перпендикулярна к прямой ( AB ), где ( A(3, 5, 4) ) и ( B(5, 8, 3) ).

Решение:

1. Найдем направляющий вектор прямой ( AB ):
   Направляющий вектор ( \vec{AB} ) можно найти как разность координат точек ( B ) и ( A ):
   \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A).
   Подставляем координаты:
   \vec{AB} = (5 - 3, 8 - 5, 3 - 4) = (2, 3, -1).

2. Нормаль плоскости:
   Плоскость, перпендикулярная прямой ( AB ), будет иметь нормаль ( \vec{n} ), совпадающую с направляющим вектором ( \vec{AB} ).
   Таким образом, нормальный вектор плоскости:
   \vec{n} = (2, 3, -1).

3. Общее уравнение плоскости:
   Уравнение плоскости в общем виде задается формулой:
   n_1(x - x_0) + n_2(y - y_0) + n_3(z - z_0) = 0,
   где ( (n_1, n_2, n_3) ) — координаты нормального вектора ( \vec{n} ), а ( (x_0, y_0, z_0) ) — координаты точки, через которую проходит плоскость.

   Подставляем:

   • ( \vec{n} = (2, 3, -1) ),
   • точка ( D(-1, 0, 2) ).

4. Уравнение плоскости:
   2(x - (-1)) + 3(y - 0) - 1(z - 2) = 0.

5. Упростим уравнение:
   Раскроем скобки и приведем подобные:
   2(x + 1) + 3y - 1(z - 2) = 0,
   2x + 2 + 3y - z + 2 = 0,
   2x + 3y - z + 4 = 0.

Ответ:

Уравнение плоскости:
2x + 3y - z + 4 = 0.