Составить уравнение множества точек, удовлетворяющих определённому геометрическому условию

Предмет: Геометрия
Раздел: Аналитическая геометрия на плоскости

Задача требует составить уравнение множества точек, удовлетворяющих определённому геометрическому условию. Рассмотрим это подробно.

Условие:

Сумма квадратов расстояний от произвольной точки ( M(x, y) ) до двух фиксированных точек ( A(2, 3) ) и ( B(4, 5) ) равна 54.

Запишем это условие в виде математического уравнения:

 (MA)^2 + (MB)^2 = 54 

Где:

• ( MA ) — расстояние от точки ( M(x, y) ) до точки ( A(2, 3) ),
• ( MB ) — расстояние от точки ( M(x, y) ) до точки ( B(4, 5) ).

Расстояние между двумя точками:

Расстояние между точками ( M(x, y) ) и ( A(2, 3) ) вычисляется по формуле:

 MA = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2} 

Аналогично, расстояние между точками ( M(x, y) ) и ( B(4, 5) ):

 MB = \sqrt{(x - 4)^2 + (y - 5)^2} 

Подставим расстояния в уравнение:

Сумма квадратов расстояний равна:

 (MA)^2 + (MB)^2 = [(x - 2)^2 + (y - 3)^2] + [(x - 4)^2 + (y - 5)^2] 

По условию, это равно 54:

 (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 54 

Раскроем скобки:

Раскроем квадраты:

1. ((x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4),
2. ((y - 3)^2 = y^2 - 6y + 9),
3. ((x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16),
4. ((y - 5)^2 = y^2 - 10y + 25).

Подставим их в уравнение:

 x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 + x^2 - 8x + 16 + y^2 - 10y + 25 = 54 

Сгруппируем и упростим:

Соберём все ( x^2 ) и ( y^2 ), а также линейные и свободные члены:

 2x^2 + 2y^2 - 12x - 16y + 54 = 54 

Сократим ( 54 ) с правой и левой стороны:

 2x^2 + 2y^2 - 12x - 16y = 0 

Упростим уравнение:

Разделим всё уравнение на 2:

 x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0 

Приведение к каноническому виду:

Для приведения уравнения к каноническому виду окружности, выделим полные квадраты для ( x ) и ( y ):

1. Для ( x^2 - 6x ): добавим и вычтем ( \left(\frac{-6}{2}\right)^2 = 9 ),
2. Для ( y^2 - 8y ): добавим и вычтем ( \left(\frac{-8}{2}\right)^2 = 16 ).

Запишем:

 (x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) = 0 + 9 + 16 

 (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25 

Ответ:

Уравнение множества точек — это уравнение окружности с центром в точке ( (3, 4) ) и радиусом ( R = 5 ):

 (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25