Составить уравнение медианы BE и найти ее длину

Предмет: Геометрия

Раздел: Аналитическая геометрия

Задание:

Дан треугольник с вершинами \( A(8; -3) \), \( B(-1; -10) \), \( C(2; -1) \). Составить уравнение медианы \( BE \) и найти её длину.

1. Нахождение координат точки \( E \) — середины стороны треугольника \( AC \)

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. В нашем случае медиана \( BE \) соединяет вершину \( B \) и середину \( E \) стороны \( AC \). Координаты середины отрезка \( E \), соединяющего точки \( A(8, -3) \) и \( C(2, -1) \), находятся по формуле для середины отрезка:

\[ E \left( x_E; y_E \right) = \left( \frac{x_A + x_C}{2}; \frac{y_A + y_C}{2} \right) \]

Подставляем координаты точек \( A \) и \( C \):

\[ x_E = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

\[ y_E = \frac{-3 + (-1)}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Таким образом, координаты точки \( E(5, -2) \).

2. Составление уравнения прямой медианы \( BE \)

Прямая \( BE \) проходит через точки \( B(-1, -10) \) и \( E(5, -2) \). Найдём уравнение этой прямой. Уравнение любой прямой на плоскости задано в виде:

\[ y - y_1 = k(x - x_1) \]

где \( k \) — угловой коэффициент прямой, а \((x_1, y_1) \) — координаты одной из точек, через которые проходит эта прямая (возьмём точку \( B(-1, -10) \)). Угловой коэффициент \( k \) можно найти по формуле:

\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

где \((x_1, y_1) = (-1, -10) \) и \((x_2, y_2) = (5, -2) \). Подставляем значения:

\[ k = \frac{-2 - (-10)}{5 - (-1)} = \frac{-2 + 10}{5 + 1} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \]

Теперь подставим точку \( B(-1, -10) \) и найденный угловой коэффициент \( k = \frac{4}{3} \) в уравнение прямой:

\[ y + 10 = \frac{4}{3}(x + 1) \]

Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дроби:

\[ 3(y + 10) = 4(x + 1) \]

Раскроем скобки:

\[ 3y + 30 = 4x + 4 \]

Приведём подобные в правой части:

\[ 3y = 4x - 26 \]

\[ y = \frac{4}{3}x - \frac{26}{3} \]

Это уравнение медианы \( BE \).

3. Нахождение длины медианы \( BE \)

Длина отрезка \( BE \) — это расстояние между точками \( B(-1, -10) \) и \( E(5, -2) \). Расстояние между двумя точками на плоскости находится по формуле:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Подставим координаты точек \( B(-1, -10) \) и \( E(5, -2) \):

\[ d = \sqrt{(5 + 1)^2 + (-2 + 10)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} \]

\[ d = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]

Таким образом, длина медианы \( BE \) равна 10.

Ответы:

1. Уравнение медианы: \( y = \frac{4}{3}x - \frac{26}{3} \)

2. Длина медианы \( BE \): 10.