Составить уравнение касательной и нормали к кривой y =1+ √x+I в точке с абсциссой хо = 3.

Давайте разберем ваше задание по шагам. Это задание относится к предмету "Математика", разделу "Аналитическая геометрия" и "Дифференциальное исчисление".

Задача: Составить уравнение касательной и нормали к кривой \( y = 1 + \sqrt{x} + I \) в точке с абсциссой \( x_0 = 3 \).

Шаг 1: Вычисление значения функции в точке \( x = 3 \)

Подставим \( x_0 = 3 \) в уравнение функции \( y = 1 + \sqrt{x} + I \):
\[ y(3) = 1 + \sqrt{3} + I \]

Шаг 2: Нахождение производной функции

Производная функции \( y = 1 + \sqrt{x} + I \):
\[ y' = \frac{d}{dx} (1 + \sqrt{x} + I) = \frac{d}{dx} (1) + \frac{d}{dx} (\sqrt{x}) + \frac{d}{dx} (I) \]
Производная постоянных величин 1 и I равна 0, а производная \(\sqrt{x} \) равна \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\):
\[ y' = 0 + \frac{1}{2\sqrt{x}} + 0 = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

Шаг 3: Вычисление значения производной в точке \( x = 3 \)

Теперь найдем значение производной в точке \( x_0 = 3 \):
\[ y'(3) = \frac{1}{2\sqrt{3}} \]

Шаг 4: Уравнение касательной

Уравнение касательной в точке \( (x_0, y_0) \) определяется формулой:
\[ y - y_0 = y'(x_0) \cdot (x - x_0) \]
Нам известны:
\[ x_0 = 3 \]
\[ y_0 = 1 + \sqrt{3} + I \]
\[ y'(3) = \frac{1}{2\sqrt{3}} \]
Подставляем эти значения в уравнение касательной:
\[ y - (1 + \sqrt{3} + I) = \frac{1}{2\sqrt{3}} \cdot (x - 3) \]

Шаг 5: Преобразование уравнения касательной

Упростим уравнение касательной:
\[ y = \frac{1}{2\sqrt{3}} (x - 3) + 1 + \sqrt{3} + I \]

Шаг 6: Уравнение нормали

Уравнение нормали в точке \( (x_0, y_0) \) определяется формулой:
\[ y - y_0 = -\frac{1}{y'(x_0)} \cdot (x - x_0) \]
Нам известны:
\[ x_0 = 3 \]
\[ y_0 = 1 + \sqrt{3} + I \]
\[ y'(3) = \frac{1}{2\sqrt{3}} \]
Вычисляем обратное значение производной:
\[ -\frac{1}{y'(3)} = -2\sqrt{3} \]
Подставляем это в уравнение нормали:
\[ y - (1 + \sqrt{3} + I) = -2\sqrt{3} \cdot (x - 3) \]

Шаг 7: Преобразование уравнения нормали

Упростим уравнение нормали:
\[ y = -2\sqrt{3} (x - 3) + 1 + \sqrt{3} + I \]

Ответ:

1. Уравнение касательной: \( y = \frac{1}{2\sqrt{3}} (x - 3) + 1 + \sqrt{3} + I \)
2. Уравнение нормали: \( y = -2\sqrt{3} (x - 3) + 1 + \sqrt{3} + I \)