Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной к плоскости

Предмет: Аналитическая геометрия

Раздел: Прямая и плоскость в пространстве

Задача: Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (D(0, 4, -1)), перпендикулярной к плоскости (ABC).

Решение:

1. Уравнение плоскости (ABC):

Чтобы найти уравнение плоскости, нам нужен её нормальный вектор, который можно определить как векторное произведение двух направляющих векторов плоскости.

• Направляющие векторы в плоскости (ABC):
  [ \vec{AB} = B - A = (-1 - 3, 6 - 1, 1 - 4) = (-4, 5, -3) ]
  [ \vec{AC} = C - A = (-1 - 3, 1 - 1, 6 - 4) = (-4, 0, 2) ]

• Векторное произведение (\vec{AB} \times \vec{AC}):
  Формула для векторного произведения:
  [ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -4 & 5 & -3 \ -4 & 0 & 2 \end{vmatrix} ]
  Раскроем определитель:
  [ \vec{AB} \times \vec{AC} = \mathbf{i} \cdot (5 \cdot 2 - (-3) \cdot 0) - \mathbf{j} \cdot (-4 \cdot 2 - (-3) \cdot (-4)) + \mathbf{k} \cdot (-4 \cdot 0 - (-4) \cdot 5) ]
  [ \vec{AB} \times \vec{AC} = \mathbf{i} \cdot 10 - \mathbf{j} \cdot (-8 - 12) + \mathbf{k} \cdot (0 + 20) ]
  [ \vec{AB} \times \vec{AC} = \mathbf{i} \cdot 10 - \mathbf{j} \cdot (-20) + \mathbf{k} \cdot 20 ]
  [ \vec{AB} \times \vec{AC} = (10, 20, 20) ]

Итак, нормальный вектор плоскости (ABC):
[ \vec{n} = (10, 20, 20) ]

Уравнение плоскости имеет вид:
[ 10x + 20y + 20z + D = 0 ]

Подставим координаты точки (A(3, 1, 4)), чтобы найти (D):
[ 10 \cdot 3 + 20 \cdot 1 + 20 \cdot 4 + D = 0 ]
[ 30 + 20 + 80 + D = 0 ]
[ D = -130 ]

Уравнение плоскости:
[ 10x + 20y + 20z - 130 = 0 ]

2. Прямая через (D(0, 4, -1)), перпендикулярная плоскости (ABC):

Прямая, перпендикулярная плоскости, имеет направляющий вектор, совпадающий с нормальным вектором плоскости. Направляющий вектор:
[ \vec{n} = (10, 20, 20) ]

Каноническое уравнение прямой:
[ \frac{x - x_0}{n_x} = \frac{y - y_0}{n_y} = \frac{z - z_0}{n_z} ]
где ((x_0, y_0, z_0)) — точка, через которую проходит прямая, а ((n_x, n_y, n_z)) — направляющие косинусы.

Подставим (D(0, 4, -1)) и (\vec{n} = (10, 20, 20)):
[ \frac{x - 0}{10} = \frac{y - 4}{20} = \frac{z + 1}{20} ]

Итак, каноническое уравнение прямой:
[ \frac{x}{10} = \frac{y - 4}{20} = \frac{z + 1}{20} ]

Ответ:
Каноническое уравнение прямой:
[ \frac{x}{10} = \frac{y - 4}{20} = \frac{z + 1}{20} ]