Составить каноническое уравнение эллипса, используя несколько параметров, которые касаются его геометрии и форм

Это задание относится к теме геометрии, разделу аналитической геометрии. В данном упражнении требуется составить каноническое уравнение эллипса, используя несколько параметров, которые касаются его геометрии и форм.

Шаг 1: Каноническое уравнение эллипса.

Каноническая форма уравнения эллипса с центром в начале координат (0, 0) задается как:

\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \]

где:

• \(a\) — расстояние от центра до вершины вдоль большой оси,
• \(b\) — расстояние от центра до вершины вдоль малой оси,
• \(c\) — расстояние от центра до фокуса.

Параметры \(a\), \(b\), и \(c\) связаны через формулу \(a^2 = b^2 + c^2\).

Теперь перейдем к использованию данных задачи.

Шаг 2: Находим параметры эллипса.

1. Расстояние между вершинами на большой оси равно 16. Значит, это удвоенное значение \(a\), то есть:

   \[ 2a = 16 \quad \Rightarrow \quad a = 8. \]

2. Расстояние между фокусами равно 10. Это удвоенное значение \(c\), то есть:

   \[ 2c = 10 \quad \Rightarrow \quad c = 5. \]

3. Связь между \(a\), \(b\) и \(c\) дается формулой \(a^2 = b^2 + c^2\). Подставляем значения \(a\) и \(c\):

   \[ a^2 = b^2 + c^2, \]

   \[ 8^2 = b^2 + 5^2, \]

   \[ 64 = b^2 + 25, \]

   \[ b^2 = 39 \quad \Rightarrow \quad b = \sqrt{39}. \]

Таким образом, каноническое уравнение эллипса принимает вид:

Шаг 3: Проверка условий.

1. Фокусы (\pm 2, 0). Это не соответствует уравнению, пока. Т.к. эллипс симметричен, проверим, исходя из этой информации, что просто может быть условие для переноса центров и координат.