Решить задачу, связанную с работой с векторами, геометрическими объектами (пирамидой, треугольниками) и медианами

Определение предмета: Задание относится к аналитической геометрии — одному из разделов высшей математики. В нем требуется решить задачу, связанную с работой с векторами, геометрическими объектами (пирамидой, треугольниками) и медианами.

Шаг 1. Идентификация задачи

Дана треугольная пирамида \( SABC \) с вершинами \( S, A, B, C \). Векторы \( \overrightarrow{SA} = \mathbf{a} \), \( \overrightarrow{SB} = \mathbf{b} \), \( \overrightarrow{SC} = \mathbf{c} \). Нужно выразить вектор \( \overrightarrow{SM} \) через заданные векторы, где \( M \) — точка пересечения медиан треугольника \( ABC \).

Шаг 2. Свойства точки пересечения медиан треугольника

Точка пересечения медиан треугольника (с центроида \( M \)) делит каждую медиану в отношении \( 2:1 \), считая от соответствующей вершины треугольника. Это означает, что центр масс (или "центроид") треугольника \( ABC \) геометрически расположен как среднее арифметическое вершин \( A \), \( B \) и \( C \).

Шаг 3. Координаты точки пересечения медиан

Центроид \( M \) треугольника \( ABC \) имеет координаты: \[ M = \frac{1}{3}(A + B + C), \] где \( A, B, C \) — это координаты вершин \( A \), \( B \), \( C \). Теперь, зная, что точки \( A, B, C \) представлены векторами из точки \( S \), мы можем записать соответствующие выражения для этих точек через указанные для нас векторы. Пусть \( A = S + \mathbf{a} \), \( B = S + \mathbf{b} \), \( C = S + \mathbf{c} \) (формально это можно понимать, как что \( \overrightarrow{SA} = \mathbf{a} \), etc).

Шаг 4. Найдем положение точки M

Тогда точка \( M \) как точка пересечения медиан треугольника \( ABC \) будет вычисляться как: \[ M = \frac{1}{3}((S + \mathbf{a}) + (S + \mathbf{b}) + (S + \mathbf{c})). \] Раскроем скобки: \[ M = \frac{1}{3}(3S + \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}). \] Упростим: \[ M = S + \frac{1}{3}(\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}). \]

Шаг 5. Найдем вектор \( \overrightarrow{SM} \)

Теперь необходимо выразить вектор \( \overrightarrow{SM} \): \[ \overrightarrow{SM} = M - S. \] Подставляем значение \( M \): \[ \overrightarrow{SM} = \left(S + \frac{1}{3}(\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c})\right) - S, \] \[ \overrightarrow{SM} = \frac{1}{3}(\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}). \]

Ответ: Вектор \( \overrightarrow{SM} \) выражается через векторы \( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \) как: \[ \overrightarrow{SM} = \frac{1}{3}(\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}). \]

Объяснение:

Мы использовали известные свойства треугольника — координаты его центроида (точки пересечения медиан) определяются как среднее арифметическое координат его вершин. Это позволило нам выразить положение точки \( M \) и найти нужный вектор \( \overrightarrow{SM} \).