Решить вопрос о возможности построения треугольника из данных отрезков

Данный предмет и раздел

Это задача относится к математике, конкретно к теме "Геометрия" и разделу "Треугольники". Мы будем использовать неравенства треугольника, чтобы решить вопрос о возможности построения треугольника из данных отрезков.

Условие задачи

Имеется 5 отрезков, длины которых равны \(1, 3, 5, 7, 9\). Для того чтобы треугольник из трёх отрезков мог существовать, необходимо выполнение неравенств треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

Шаги решения

1. Неравенства треугольника

Для треугольника с длинами сторон \(a\), \(b\), \(c\) должно выполняться:

• \[ a + b > c \]
• \[ a + c > b \]
• \[ b + c > a \]

То есть, сумма любых двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны. Опираясь на это правило, проверим возможные комбинации из трёх отрезков.

2. Найдём все возможные сочетания трёх отрезков из пяти

Отрезки имеют длины \(1, 3, 5, 7, 9\). Нам нужно проверить все возможные комбинации. Общее число комбинаций трёх отрезков из пяти можно найти с использованием формулы для сочетаний:

\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10 \]

Итак, всего есть 10 возможных сочетаний трёх отрезков. Это:

1. \(1, 3, 5\)
2. \(1, 3, 7\)
3. \(1, 3, 9\)
4. \(1, 5, 7\)
5. \(1, 5, 9\)
6. \(1, 7, 9\)
7. \(3, 5, 7\)
8. \(3, 5, 9\)
9. \(3, 7, 9\)
10. \(5, 7, 9\)

Теперь для каждой тройки проверим выполнение неравенств треугольника.

3. Проверка каждой комбинации

1. \(1, 3, 5\): \[ 1 + 3 = 4 \quad (4 \not> 5) \quad \text{невозможно построить треугольник}. \]
2. \(1, 3, 7\): \[ 1 + 3 = 4 \quad (4 \not> 7) \quad \text{невозможно построить треугольник}. \]
3. \(1, 3, 9\): \[ 1 + 3 = 4 \quad (4 \not> 9) \quad \text{невозможно построить треугольник}. \]
...
4. \(5, 7, 9\): \[ 5 + 7 = 12 \quad (12 > 9), \quad 5 + 9 = 14 \quad (14 > 7), \quad 7 + 9 = 16 \quad (16 > 5). \] \[ \text{Треугольник возможен}. \]

4. Вероятность

Из 10 возможных комбинаций, только 3 удовлетворяют неравенствам треугольника. Это комбинации:

• \(3, 5, 7\)
• \(3, 7, 9\)
• \(5, 7, 9\)

Вероятность того, что случайно выбранные три отрезка могут образовать треугольник, равна:

\[ P = \frac{\text{Количество подходящих треугольников}}{\text{Общее количество комбинаций}} = \frac{3}{10} = 0{,}3 \]

Ответ

Вероятность того, что с помощью взятых наудачу трёх отрезков из данных пяти можно построить треугольник, равна 0,3 или 30%.