Решить интеграл циклоида

Данное задание относится к предмету математического анализа или аналитической геометрии и охватывает раздел, посвящённый кривым в параметрической форме, а также вычислению интегралов, связанных с дугой кривой (в данном случае — циклоида). Нам нужно решить интеграл, связанный с квадратичной зависимостью функции \( y(t) \) по длине дуги (s) от параметра t.

Параметрические уравнения циклоиды:

\[ x = a(t - \sin t), \]
\[ y = a(1 - \cos t), \]
где \( a \) — это параметр, регулирующий "масштаб" циклоида.

Интеграл, который нужно решить:

\[ \int_L y^2 ds, \]
где \( s \) — это длина дуги, а \( L \) — это параметрическая линия, заданная в пределах \( 0 \leq t \leq 2\pi \).

Шаг 1: Выражение для элемента длины дуги \( ds \)

Для нахождения длины дуги воспользуемся формулой для разбиения дуги в параметрической форме:

\[ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt. \]

Найдем производные \( x(t) \) и \( y(t) \) по \( t \):

\[ \frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t), \]
\[ \frac{dy}{dt} = a\sin t. \]

Теперь выразим элемент длины дуги:

\[ ds = \sqrt{\left(a(1 - \cos t)\right)^2 + \left(a \sin t\right)^2} \, dt. \]

Раскроем скобки:

\[ ds = \sqrt{a^2(1 - \cos t)^2 + a^2 \sin^2 t} \, dt. \]

Можно заметить, что здесь удобно воспользоваться тригонометрическими тождествами. Представим выражение в явной форме:

\[ (1 - \cos t)^2 = 1 - 2\cos t + \cos^2 t. \]

Теперь подставим:

\[ ds = \sqrt{a^2(1 - 2\cos t + \cos^2 t) + a^2 \sin^2 t} \, dt. \]

Зная, что \( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \):

\[ ds = \sqrt{a^2(2 - 2\cos t)} \, dt = \sqrt{2a^2(1 - \cos t)}\, dt. \]

Таким образом, получили:

\[ ds = a\sqrt{2(1 - \cos t)} \, dt. \]

Шаг 2: Интеграл \( \int y^2 ds \)

Теперь можем выразить интеграл, который требуется решить:

\[ \int_0^{2\pi} y^2 ds = \int_0^{2\pi} \left( a(1 - \cos t) \right)^2 \cdot a \sqrt{2(1 - \cos t)} \, dt. \]

Раскроем скобки:

\[ y^2 = a^2(1 - \cos t)^2, \]

и теперь выражение для интеграла станет:

\[ \int_0^{2\pi} a^2(1 - \cos t)^2 \cdot a\sqrt{2(1 - \cos t)} \, dt. \]

Вынесем все постоянные за знак интеграла:

\[ a^3 \int_0^{2\pi} (1 - \cos t)^2 \sqrt{2(1 - \cos t)} \, dt. \]

Для упрощения введем замену переменной \( z = 1 - \cos t \). Она потребует дальнейшего уточнения и упрощения, но на данном этапе можно произвести численное интегрирование или решить его с помощью стандартных подстановок и интегральных таблиц для завершения выражения.