Разложить один вектор через другие, что связано с операциями с векторами и их разложением по базису

Определение предмета и раздела

Это задание относится к геометрии, а точнее, к её подразделу - векторной геометрии. Здесь требуется разложить один вектор через другие, что связано с операциями с векторами и их разложением по базису.

Пояснение задачи:

Дан прямоугольник \( OABC \), где:

• \( O \) — одна из его вершин,
• \( A \), \( B \), \( C \) — остальные вершины прямоугольника.

Также даны точки \( M \) и \( N \) — середины сторон \( BC \) и \( AC \) соответственно. Задача состоит в том, чтобы разложить вектор \( \vec{OC} \) через два вектора:

• \( \vec{OM} = \mathbf{a} \),
• \( \vec{ON} = \mathbf{b} \).

Нужно найти, как выразить \( \vec{OC} \) через \( \vec{OM} = \mathbf{a} \) и \( \vec{ON} = \mathbf{b} \).

Аналитическое решение:

1. Обозначим векторы:

   Нам даны точки \( M \) и \( N \) (середины сторон прямоугольника). Следовательно, через эти точки удобно выразить векторы.

   Пусть \( O \) — начало координат (вектор \( \vec{OA} \), например, равен \( \vec{A} \)).

2. Рассмотрим прямоугольник \( OABC \): его стороны взаимно перпендикулярны, и векторы направлены "по сетке". Для удобства примем, что базовые векторы вдоль сторон прямоугольника — это \( \vec{OA} \) и \( \vec{OB} \). То есть:
   • Пусть \( \vec{OA} = \hat{i} \) — единичный вектор вдоль оси \( x \),
   • Пусть \( \vec{OB} = \hat{j} \) — единичный вектор вдоль оси \( y \).

   Введем следующие обозначения:

   • \( \vec{OM} \) – это вектор от \( O \) до середины стороны \( BC \),
   • \( \vec{ON} \) – это вектор от \( O \) до середины стороны \( AC \).
3. Выражение векторов через базовые:

   Рассмотрим точку \( C \). Прямоугольник \( OABC \) таков, что \( C \) находится на противоположной стороне от \( O \). Тогда вектор \( \vec{OC} \) можно выразить как сумму векторов: \[\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}.\]

   По условию задачи нужно разложить этот вектор через середины сторон \( M \) и \( N \).

4. Нахождение векторов \( \vec{OM} \) и \( \vec{ON} \):
   • Точка \( M \) — середина \( BC \), то есть: \[\vec{OM} = \frac{1}{2} \vec{OB} + \vec{OA}.\]
   • Точка \( N \) — середина \( AC \), то есть: \[\vec{ON} = \vec{OA} + \frac{1}{2} \vec{OC}.\]

Точки \( M \) и \( N \) — это середины отрезков \( BC \) и \( AC \), соответственно: