Рассчитайте ограниченную площадь

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия и интегральное исчисление

Нам нужно найти площадь, ограниченную двумя кривыми, заданными функциями f(x) = -0.5x^2 + 8.5 и g(x) = \frac{8}{x^2}, в первом квадранте.

Для этого следуем следующему алгоритму:

1. Найдем точки пересечения графиков

Точки пересечения находятся из уравнения f(x) = g(x), то есть:

 -0.5x^2 + 8.5 = \frac{8}{x^2}. 

Умножим обе стороны на x^2 (при x \neq 0):

 -0.5x^4 + 8.5x^2 = 8. 

Обозначим y = x^2, тогда уравнение преобразуется в:

 -0.5y^2 + 8.5y - 8 = 0. 

Умножим на -2, чтобы избавиться от дробей:

 y^2 - 17y + 16 = 0. 

Решим квадратное уравнение по формуле:

 y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, 

где a = 1, b = -17, c = 16.

Подставим:

 y = \frac{-(-17) \pm \sqrt{(-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}. 

 y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 64}}{2}. 

 y = \frac{17 \pm \sqrt{225}}{2}. 

 y = \frac{17 \pm 15}{2}. 

Получаем два корня:

 y_1 = \frac{17 + 15}{2} = 16, \quad y_2 = \frac{17 - 15}{2} = 1. 

Так как y = x^2, то:

 x_1 = \sqrt{16} = 4, \quad x_2 = \sqrt{1} = 1. 

Таким образом, точки пересечения в первом квадранте: x = 1 и x = 4.

2. Выразим площадь

Площадь между двумя кривыми вычисляется по формуле:

 S = \int_{x_1}^{x_2} \left( f(x) - g(x) \right) dx, 

где f(x) — верхняя функция, а g(x) — нижняя функция. В данном случае:

 f(x) = -0.5x^2 + 8.5, \quad g(x) = \frac{8}{x^2}. 

Подставим пределы интегрирования x_1 = 1, x_2 = 4:

 S = \int_{1}^{4} \left[ \left(-0.5x^2 + 8.5\right) - \frac{8}{x^2} \right] dx. 

3. Упростим выражение под интегралом

 S = \int_{1}^{4} \left( -0.5x^2 + 8.5 - \frac{8}{x^2} \right) dx. 

Разделим интеграл на три части:

 S = \int_{1}^{4} -0.5x^2 \, dx + \int_{1}^{4} 8.5 \, dx - \int_{1}^{4} \frac{8}{x^2} \, dx. 

4. Вычислим каждый интеграл отдельно

Первый интеграл:

 \int_{1}^{4} -0.5x^2 \, dx = -0.5 \int_{1}^{4} x^2 \, dx. 

Воспользуемся формулой интегрирования степенной функции:

 \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}. 

Тогда:

 \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}. 

Подставим:

 \int_{1}^{4} -0.5x^2 \, dx = -0.5 \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{4}. 

Вычислим:

 \int_{1}^{4} -0.5x^2 \, dx = -0.5 \cdot \left( \frac{4^3}{3} - \frac{1^3}{3} \right). 

 \int_{1}^{4} -0.5x^2 \, dx = -0.5 \cdot \left( \frac{64}{3} - \frac{1}{3} \right). 

 \int_{1}^{4} -0.5x^2 \, dx = -0.5 \cdot \frac{63}{3}. 

 \int_{1}^{4} -0.5x^2 \, dx = -0.5 \cdot 21 = -10.5. 

Второй интеграл:

 \int_{1}^{4} 8.5 \, dx = 8.5 \int_{1}^{4} 1 \, dx. 

 \int_{1}^{4} 1 \, dx = \left[ x \right]_{1}^{4} = 4 - 1 = 3. 

 \int_{1}^{4} 8.5 \, dx = 8.5 \cdot 3 = 25.5. 

Третий интеграл:

 \int_{1}^{4} \frac{8}{x^2} \, dx = 8 \int_{1}^{4} x^{-2} \, dx. 

Воспользуемся формулой интегрирования степенной функции:

 \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}, \quad n \neq -1. 

Тогда:

 \int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}. 

Подставим:

 \int_{1}^{4} \frac{8}{x^2} \, dx = 8 \cdot \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{4}. 

 \int_{1}^{4} \frac{8}{x^2} \, dx = 8 \cdot \left( -\frac{1}{4} - (-1) \right). 

 \int_{1}^{4} \frac{8}{x^2} \, dx = 8 \cdot \left( -\frac{1}{4} + 1 \right). 

 \int_{1}^{4} \frac{8}{x^2} \, dx = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6. 

5. Соберем все вместе

 S = \int_{1}^{4} -0.5x^2 \, dx + \int_{1}^{4} 8.5 \, dx - \int_{1}^{4} \frac{8}{x^2} \, dx. 

 S = -10.5 + 25.5 - 6. 

 S = 9. 

Ответ:

Ограниченная площадь равна 9.