Рассчитать площадь фигуры, ограниченной линиями

Предмет: Математика
Раздел: Аналитическая геометрия / Многократные интегралы / Площадь плоской фигуры

Задание:
Рассчитать площадь фигуры, ограниченной линиями, указанными в варианте 8.

Шаг 1: Анализ уравнений

Для варианта 8 даны следующие линии:

• L_1: x^2 + y^2 - 6y = 0
• L_2: x^2 + y^2 - 10y = 0
• L_3: y = x
• L_4: x = 0

Шаг 2: Преобразуем уравнения окружностей

Уравнение L_1:

 x^2 + y^2 - 6y = 0 \Rightarrow x^2 + (y^2 - 6y) = 0 

Дополняем до полного квадрата:

 x^2 + (y - 3)^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 + (y - 3)^2 = 9 

Это окружность с центром в точке (0, 3) и радиусом R = 3.

Уравнение L_2:

 x^2 + y^2 - 10y = 0 \Rightarrow x^2 + (y - 5)^2 - 25 = 0 \Rightarrow x^2 + (y - 5)^2 = 25 

Это окружность с центром в точке (0, 5) и радиусом R = 5.

Шаг 3: Построение области

Область ограничена:

• Снаружи — большей окружностью (радиус 5, центр (0,5))
• Внутри — меньшей окружностью (радиус 3, центр (0,3))
• Справа — прямой y = x
• Слева — прямой x = 0 (ось Oy)

То есть, часть кольца между двумя окружностями, ограниченная между прямыми x = 0 и y = x.

Шаг 4: Переход к полярным координатам

Поскольку уравнения окружностей удобно описываются в полярных координатах, используем замену:

 x = r \cos\theta, \quad y = r \sin\theta 

Уравнение окружности L_1:

 x^2 + y^2 - 6y = 0 \Rightarrow r^2 - 6r \sin\theta = 0 \Rightarrow r = 0 \text{ или } r = 6 \sin\theta 

Уравнение окружности L_2:

 x^2 + y^2 - 10y = 0 \Rightarrow r^2 - 10r \sin\theta = 0 \Rightarrow r = 0 \text{ или } r = 10 \sin\theta 

Границы угла \theta:

Область ограничена прямыми x = 0 (ось Oy) и y = x.
В полярных координатах:

• x = 0 соответствует \theta = \frac{\pi}{2}
• y = x → \tan\theta = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}

То есть, \theta \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]

Шаг 5: Вычисление площади

Площадь кольцевого сектора между двумя окружностями в полярных координатах:

 S = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} r \, dr \, d\theta 

Подставим:

• r_1(\theta) = 6 \sin\theta
• r_2(\theta) = 10 \sin\theta
• \theta \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]

Тогда:

 S = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \int_{6 \sin\theta}^{10 \sin\theta} r \, dr \, d\theta 

Вычислим внутренний интеграл:

 \int_{6 \sin\theta}^{10 \sin\theta} r \, dr = \left.\frac{r^2}{2}\right|_{6 \sin\theta}^{10 \sin\theta} = \frac{(10 \sin\theta)^2 - (6 \sin\theta)^2}{2} = \frac{100 \sin^2\theta - 36 \sin^2\theta}{2} = \frac{64 \sin^2\theta}{2} = 32 \sin^2\theta 

Теперь внешний интеграл:

 S = \int_{\pi/4}^{\pi/2} 32 \sin^2\theta \, d\theta 

Используем формулу:

 \sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} 

Тогда:

 S = 32 \int_{\pi/4}^{\pi/2} \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \, d\theta = 16 \int_{\pi/4}^{\pi/2} (1 - \cos(2\theta)) \, d\theta 

Вычислим:

 \int_{\pi/4}^{\pi/2} (1 - \cos(2\theta)) \, d\theta = \left[\theta - \frac{\sin(2\theta)}{2}\right]_{\pi/4}^{\pi/2} 

Подставим:

• При \theta = \pi/2: \pi/2 - \frac{\sin(\pi)}{2} = \pi/2
• При \theta = \pi/4: \pi/4 - \frac{\sin(\pi/2)}{2} = \pi/4 - 1/2

Разность:

 \left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right)\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} 

Теперь умножим на 16:

 S = 16 \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \right) = 4\pi + 8 

Ответ:

S = 4\pi + 8

Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями в варианте 8, равна 4\pi + 8 единиц площади.