Прямая в пространстве, расстояние между скрещивающимися прямыми, общий перпендикуляр

Предмет: Аналитическая геометрия
Раздел: Прямая в пространстве, расстояние между скрещивающимися прямыми, общий перпендикуляр

Дано:

Даны две прямые в пространстве в симметрической форме:

1. Прямая ( L_1 ):  \frac{x - 1}{8} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z - 3}{1} 

2. Прямая ( L_2 ):  \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{-2} = \frac{z + 1}{1} 

Найти:

• Уравнение общего перпендикуляра к этим прямым
• Расстояние между прямыми
• Точки пересечения общего перпендикуляра с каждой из прямых

Шаг 1: Представим прямые в параметрической форме

Прямая ( L_1 ):

Пусть параметр ( t ), тогда:

 \begin{cases} x = 1 + 8t \ y = 2 + 4t \ z = 3 + t \end{cases} 

Направляющий вектор ( \vec{a_1} = (8, 4, 1) )

Точка на прямой ( A_1 = (1, 2, 3) )

Прямая ( L_2 ):

Пусть параметр ( s ), тогда:

 \begin{cases} x = 1 + 2s \ y = 0 - 2s = -2s \ z = -1 + s \end{cases} 

Направляющий вектор ( \vec{a_2} = (2, -2, 1) )

Точка на прямой ( A_2 = (1, 0, -1) )

Шаг 2: Вектор между точками на прямых

Рассмотрим вектор между точками ( A_1 ) и ( A_2 ):

 \vec{A_1A_2} = A_2 - A_1 = (1 - 1, 0 - 2, -1 - 3) = (0, -2, -4) 

Шаг 3: Найдём расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми вычисляется по формуле:

 \rho = \frac{|\vec{A_1A_2} \cdot (\vec{a_1} \times \vec{a_2})|}{|\vec{a_1} \times \vec{a_2}|} 

Найдём векторное произведение ( \vec{a_1} \times \vec{a_2} ):

 \vec{a_1} = (8, 4, 1), \quad \vec{a_2} = (2, -2, 1) 

Векторное произведение:

 \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 8 & 4 & 1 \ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(4 \cdot 1 - 1 \cdot (-2)) - \mathbf{j}(8 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + \mathbf{k}(8 \cdot (-2) - 4 \cdot 2) 

 = \mathbf{i}(4 + 2) - \mathbf{j}(8 - 2) + \mathbf{k}(-16 - 8) = (6, -6, -24) 

То есть:  \vec{n} = (6, -6, -24) 

Скалярное произведение ( \vec{A_1A_2} \cdot \vec{n} ):

 \vec{A_1A_2} = (0, -2, -4), \quad \vec{n} = (6, -6, -24) 

 \vec{A_1A_2} \cdot \vec{n} = 0 \cdot 6 + (-2) \cdot (-6) + (-4) \cdot (-24) = 0 + 12 + 96 = 108 

Модуль векторного произведения:

 |\vec{n}| = \sqrt{6^2 + (-6)^2 + (-24)^2} = \sqrt{36 + 36 + 576} = \sqrt{648} = 6\sqrt{18} = 6 \cdot 3\sqrt{2} = 18\sqrt{2} 

Расстояние между прямыми:

 \rho = \frac{108}{18\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} 

Шаг 4: Найдём уравнение общего перпендикуляра

Общий перпендикуляр — это прямая, перпендикулярная обеим данным прямым. Её направляющий вектор — это векторное произведение:

 \vec{d} = \vec{a_1} \times \vec{a_2} = (6, -6, -24) 

Пусть точка ( P ) лежит на ( L_1 ), ( Q ) лежит на ( L_2 ), и вектор ( \vec{PQ} ) параллелен ( \vec{d} ). Тогда:

 \vec{PQ} = \vec{r_2}(s) - \vec{r_1}(t) = \vec{d} \cdot \lambda 

Подставим параметрические уравнения:

 \vec{r_1}(t) = (1 + 8t, 2 + 4t, 3 + t) \ \vec{r_2}(s) = (1 + 2s, -2s, -1 + s) 

Тогда:

 \vec{r_2}(s) - \vec{r_1}(t) = (1 + 2s - 1 - 8t, -2s - 2 - 4t, -1 + s - 3 - t) = (-8t + 2s, -2s - 2 - 4t, s - t - 4) 

Равенство этому выражению вектору ( \lambda \cdot (6, -6, -24) ), даёт систему:

 \begin{cases} -8t + 2s = 6\lambda \ -2s - 2 - 4t = -6\lambda \ s - t - 4 = -24\lambda \end{cases} 

Решим эту систему (лучше всего подставлять по одному):

Из 3-го уравнения:

 s - t = -24\lambda + 4 \Rightarrow s = t - 24\lambda + 4 

Подставим в 1-е уравнение:

 -8t + 2(t - 24\lambda + 4) = 6\lambda \ -8t + 2t - 48\lambda + 8 = 6\lambda \ -6t = 54\lambda - 8 \Rightarrow t = -9\lambda + \frac{4}{3} 

Теперь найдём ( s ):

 s = t - 24\lambda + 4 = (-9\lambda + \frac{4}{3}) - 24\lambda + 4 = -33\lambda + \frac{16}{3} 

Теперь найдём точку на ( L_1 ):

 P = (1 + 8t, 2 + 4t, 3 + t) 

Подставим ( t = -9\lambda + \frac{4}{3} ):

 x = 1 + 8(-9\lambda + \frac{4}{3}) = 1 - 72\lambda + \frac{32}{3} = -72\lambda + \frac{35}{3} 

 y = 2 + 4(-9\lambda + \frac{4}{3}) = 2 - 36\lambda + \frac{16}{3} = -36\lambda + \frac{22}{3} 

 z = 3 - 9\lambda + \frac{4}{3} = -9\lambda + \frac{13}{3} 

Таким образом, уравнение общего перпендикуляра:

Точка:  (-72\lambda + \frac{35}{3},\ -36\lambda + \frac{22}{3},\ -9\lambda + \frac{13}{3}) 

Направляющий вектор:  (6, -6, -24) 

Можно записать в параметрической форме:

 \begin{cases} x = -72\lambda + \frac{35}{3} + 6\mu \ y = -36\lambda + \frac{22}{3} - 6\mu \ z = -9\lambda + \frac{13}{3} -24\mu \end{cases} 

Или в симметрической форме:

(после подстановки конкретного значения ( \lambda ), например, ( \lambda = 0 ) для конкретной точки)

Ответ:

• Расстояние между прямыми:
  3\sqrt{2}

• Уравнение общего перпендикуляра:
  Прямая, проходящая через точку
  \left(-72\lambda + \frac{35}{3},\ -36\lambda + \frac{22}{3},\ -9\lambda + \frac{13}{3}\right)
  с направляющим вектором (6,\ -6,\ -24)

• Точки пересечения общего перпендикуляра с прямыми:
  Подставив найденные значения параметров ( t ) и ( s ) в уравнения прямых ( L_1 ) и ( L_2 ), можно получить конкретные точки пересечения.