Проверить симметрию функции

Предмет: Математика. Раздел: Аналитическая геометрия.

Чтобы проверить симметрию функции \( \frac{\ln x}{x} \), нужно рассмотреть её поведение относительно оси \(y\) и начала координат.

Проверим симметрию относительно оси \( y \):

Функция \( f(x) \) симметрична относительно оси \( y \), если \( f(x) = f(-x) \). Для функции \( f(x) = \frac{\ln x}{x} \): \( f(-x) = \frac{\ln (-x)}{-x} \). Чтобы функция была определена, аргумент логарифма должен быть положительным, т.е. \( -x > 0 \), что означает \( x < 0 \). Но \( \ln (-x) \) не определен для \( x > 0 \). Таким образом, \( f(x) = \frac{\ln x}{x} \) не определена для отрицательных значений \( x \) и, следовательно, не может быть симметричной относительно оси \( y \).

Проверим симметрию относительно начала координат:

Функция \( f(x) \) симметрична относительно начала координат, если \( f(-x) = -f(x) \). Рассмотрим, что \( f(-x) = \frac{\ln (-x)}{-x} \): \[ f(-x) = -\frac{\ln (-x)}{x}. \] Сначала заметим, что функция не определена для \( x < 0 \), поэтому мы не можем просто определять \(\ln(-x)\). Таким образом, аналогично, компонент \(\ln(-x)\) сам по себе даст числовую ошибку, поэтому \( f(-x) \neq -f(x) \). Следовательно, функция \( f(x) = \frac{\ln x}{x} \) не обладает симметрией ни относительно оси \(y\), ни относительно начала координат.

Ответ:

Функция \( \frac{\ln x}{x} \) не обладает симметрией ни относительно оси \(y\), ни относительно начала координат.