Проверить, что прямые пересекаются

Данный листок относится к предмету аналитической геометрии (подраздел в математике), и задания направлены на работу с прямыми, плоскостями и различными геометрическими объектами в трёхмерном пространстве. Рассмотрим каждое задание по порядку:

1. Проверить, что прямые пересекаются.

Даны уравнения двух прямых в пространстве:

1-ая прямая: \[ \frac{x-3}{3} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-2}{4} \]

2-ая прямая: \[ \frac{x-8}{3} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-6}{2} \]

Шаг 1. Переписываем уравнения прямых в параметрической форме.

1-ая прямая: \[ \begin{cases} x = 3 + 3t \\ y = -1 + 2t \\ z = 2 + 4t \\ \end{cases} \]

2-ая прямая: \[ \begin{cases} x = 8 + 3s \\ y = 1 + s \\ z = 6 + 2s \\ \end{cases} \]

Шаг 2. Проверим условие пересечения:

Прямые пересекутся, если существуют такие параметры \( t \) и \( s \), что соответствующие координаты \( x \), \( y \) и \( z \) окажутся равными. Составим систему:

\[ \begin{cases} 3 + 3t = 8 + 3s \\ -1 + 2t = 1 + s \\ 2 + 4t = 6 + 2s \\ \end{cases} \]

Уравнение 1: \[ 3 + 3t = 8 + 3s \quad \Rightarrow \quad 3t - 3s = 5 \quad \Rightarrow \quad t - s = \frac{5}{3} \quad \text{(1)} \]

Уравнение 2: \[ -1 + 2t = 1 + s \quad \Rightarrow \quad 2t - s = 2 \quad \text{(2)} \]

Уравнение 3: \[ 2 + 4t = 6 + 2s \quad \Rightarrow \quad 4t - 2s = 4 \quad \Rightarrow \quad 2t - s = 2 \quad \text{(3)} \]

Сравнивая уравнения (2) и (3), видим, что они одинаковы. Это система содержит три уравнения, а решений нет, так как первое уравнение не соответствует остальным. Следовательно, прямые не пересекаются.

2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку \( N(5; -1; -3) \) и параллельной прямой:

\[ 2x + 3y + z - 6 = 0 \] и \[ 4x - 3y - z + 2 = 0. \]

Шаг 1. Найдём направляющий вектор прямой, параллельной обеим плоскостям.

Векторное произведение нормалей к плоскостям даст направляющий вектор прямой:

Нормали плоскостей:

1. \( \vec{n_1} = (2, 3, 1) \)

2. \( \vec{n_2} = (4, -3, -1) \).

Вычисляем векторное произведение:

\[ \vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & -3 & -1 \\ \end{vmatrix} = \mathbf{i} ((3)(-1) - (1)(-3)) - \mathbf{j}((2)(-1) - (1)(4)) + \mathbf{k}((2)(-3) - (3)(4)) \]

\[ = \mathbf{i} (-3 + 3) - \mathbf{j} (-2 - 4) + \mathbf{k} (-6 - 12) \]

\[ \vec{v} = (0, 6, -18). \]

Получили направляющий вектор прямой \( \vec{v} = (0, 6, -18) \).

Шаг 2. Уравнение прямой.

Параметрическое уравнение прямой будет:

\[ \begin{cases} x = 5 \\ y = -1 + 6t \\ z = -3 -18t \\ \end{cases} \]

Каноническое уравнение: \[ \frac{x - 5}{0} = \frac{y + 1}{6} = \frac{z + 3}{-18}. \]

3. Найти координаты точки \( Q \), симметричной точке \( P(1; 3; -4) \) относительно плоскости \( \pi: 3x + y - 2z = 0 \).

Шаг 1. Найдём проекцию точки \( P \) на плоскость.

Пусть \( Q' \) — проекция точки \( P \). Координаты точки \( Q' \) можно найти с использованием формулы расстояния от точки до плоскости, а затем определить координаты осреднённой точки на отрезке, проведённом от \( P \) до плоскости.

Шаг 2. Продолжим решение...

Теперь у нас есть точка \( N(5, -1, -3) \) и направляющий вектор \( \vec{v} = (0, 6, -18) \).