Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду с помощью параллельного переноса системы координат

Определение предмета и раздела предмета:

Данное задание относится к предмету "Математика", раздел "Аналитическая геометрия". Конкретно, задача связана с каноническим видом уравнений кривых второго порядка, преобразованием координат и построением графиков.

Решение первой задачи:

Дано уравнение: \[ y + 5x^2 - 10x - 3 = 0. \]

Шаг 1: Приведение уравнения к удобному виду

Перепишем уравнение, выделив \(y\):
\[ y = -5x^2 + 10x + 3. \]

Шаг 2: Выделение полного квадрата

Выделим полный квадрат для выражения с \(x\) в правой части уравнения:
\[ -5x^2 + 10x = -5(x^2 - 2x). \]
Добавим и вычтем квадрат половины коэффициента при \(x\) в скобках:
\[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1. \]
Подставим это обратно:
\[ -5(x^2 - 2x) = -5((x - 1)^2 - 1) = -5(x - 1)^2 + 5. \]
Теперь уравнение принимает вид:
\[ y = -5(x - 1)^2 + 5 + 3. \]
Упростим:
\[ y = -5(x - 1)^2 + 8. \]
Это каноническое уравнение параболы.

Шаг 3: Система координат

Из канонической формы \( y = -5(x - 1)^2 + 8 \) видно, что вершина параболы находится в точке \((x_0, y_0) = (1, 8)\).
- Новая система координат получается с параллельным переносом: \(X = x - 1\), \(Y = y - 8\).
- В новой системе уравнение примет вид:
\[ Y = -5X^2. \]
Это каноническое уравнение параболы, открытой вниз.

Шаг 4: Построение графика

1. Построим параболу в новой системе координат, используя уравнение \(Y = -5X^2\).
2. Затем вернемся к исходной системе координат путем сдвига вершины параболы в точку \((1, 8)\).

Решение второй задачи:

Шаг 1: Приведение уравнения к удобному виду

Перепишем уравнение:
\[ y^2 - 24y = 21x^2 + 4x. \]

Шаг 2: Выделение полных квадратов

Для \(y\):
\[ y^2 - 24y = (y - 12)^2 - 144. \]
Для \(x\):
\[ 21x^2 + 4x = 21(x^2 + \frac{4}{21}x). \]
Выделим полный квадрат внутри скобок:
\[ x^2 + \frac{4}{21}x = \left(x + \frac{2}{21}\right)^2 - \frac{4}{441}. \]
Подставим это в выражение:
\[ 21x^2 + 4x = 21\left[\left(x + \frac{2}{21}\right)^2 - \frac{4}{441}\right] = 21\left(x + \frac{2}{21}\right)^2 - \frac{4}{21}. \]

Шаг 3: Новое уравнение

Теперь уравнение примет вид:
\[ (y - 12)^2 - 144 = 21\left(x + \frac{2}{21}\right)^2 - \frac{4}{21}. \]
Приведем к каноническому виду:
\[ \frac{(y - 12)^2}{144} - \frac{\left(x + \frac{2}{21}\right)^2}{\frac{4}{21}} = 1. \]
Упростим:
\[ \frac{(y - 12)^2}{144} - \frac{\left(x + \frac{2}{21}\right)^2}{\frac{4}{21}} = 1. \]

Ответ:

1. Первая кривая — парабола. Каноническая форма: \(y = -5(x - 1)^2 + 8\). Построение начинается с переноса вершины в \((1, 8)\).
2. Вторая кривая — гипербола. Каноническая форма: \(\frac{(y - 12)^2}{144} - \frac{\left(x + \frac{2}{21}\right)^2}{\frac{4}{21}} = 1\).

Дано уравнение: \[ y^2 - 24y - 21x^2 - 4x = 0. \]