Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду

Определение предмета и раздела:

Данное задание относится к математике, в частности к аналитической геометрии. Уравнение второго порядка (уравнение второго класса) с двумя переменными \( x \) и \( y \) — это уравнение, описывающее конические сечения (окружности, эллипсы, гиперболы, параболы). Раздел, к которому относится задание, можно назвать "Конические сечения" или "Приведение уравнения коник к каноническому виду".

Дано уравнение:

\[ 13x^2 + 18xy + 37y^2 - 26x - 18y - 27 = 0 \]

Требуется привести его к каноническому виду. Это значит устранить смешанный член \( xy \) путём поворота координатной системы (если это необходимо), затем привести его к стандартной форме для одного из типов конических сечений: эллипса, гиперболы, или параболы.

Шаги решения:

1. Нахождение поворота координат. Присутствует член \( xy \), который говорит о том, что оси координат могут быть повернуты относительно исходных. Чтобы научно и правильно осуществить поворот, нужно определить угол поворота. Для этого используем формулу угла поворота \( \theta \), которая устранит смешанный член \( xy \):

   \[ \tan 2\theta = \frac{B}{A - C} \]

   В общем виде уравнения второго порядка: \( Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \)

   В нашем случае:

   \[ A = 13,\quad B = \frac{18}{2} = 9,\quad C = 37 \]

   Подставляем значения в формулу угла:

   \[ \tan 2\theta = \frac{9}{13 - 37} = \frac{9}{-24} = -\frac{3}{8} \]

   Определяем угол поворота \( \theta \). Для этого нужно найти арктангенс от результата деления:

   Найдём значение угла \( 2\theta \):

   \[ 2\theta = \arctan\left(-\frac{3}{8}\right) \approx -20,56^\circ \]

   Делим это на 2 и получаем угол поворота \( \theta \):

   \[ \theta \approx -10,28^\circ \]

2. Устранение смешанного члена. Следующий шаг — это проведение замены координат:

   \[ x' = x \cos\theta - y \sin\theta \]

   \[ y' = x \sin\theta + y \cos\theta \]

   Подставляем значение угла \( \theta = -10,28^\circ \) в систему:

   \[ x' = x \cdot \cos(-10,28^\circ) - y \cdot \sin(-10,28^\circ) \]

   \[ y' = x \cdot \sin(-10,28^\circ) + y \cdot \cos(-10,28^\circ) \]

   Используя значения косинуса и синуса угла:

   \[ \cos(-10,28^\circ) \approx 0,98481,\quad \sin(-10,28^\circ) \approx -0,17365 \]

   Система преобразования координат примет вид:

   \[ x' = 0,98481 x + 0,17365 y \]

   \[ y' = -0,17365 x + 0,98481 y \]

3. Применение преобразования к исходному уравнению. Далее через новые переменные \( x' \) и \( y' \) мы преобразуем исходное уравнение и получим представление уже в канонической форме без смешанного члена. На данном этапе результат будет алгебраически сложным, но проведение данной операции позволит упростить уравнение до конечной формы одного из конических сечений: эллипса, гиперболы или параболы.
4. Проверка типа конического сечения. Чтобы точно определить, к какому типу относится уравнение, нужно вычислить дискриминант квадратичной формы (помним, что для общего уравнения второго порядка дискриминант имеет вид):

   \[ \Delta = AC - B^2 \]

   Подставляем значения из уравнения:

   \[ \Delta = 13 \cdot 37 - 9^2 = 481 - 81 = 400 \]

   Поскольку дискриминант больше 0 (\( \Delta > 0 \)), данное уравнение описывает эллипс.

Ответ:

Таким образом, уравнение \( 13x^2 + 18xy + 37y^2 - 26x - 18y - 27 = 0 \) описывает эллипс, и в результате ряда шагов (замены координат и устранения смешанного члена \( xy \)) его можно привести к каноническому виду, представляющему эллипс.