Привести уравнение квадрики к каноническому виду методом вращения, определить центр, главные оси и построить график

Предмет: Аналитическая геометрия

Раздел: Кривые второго порядка

Необходимо привести уравнение квадрики к каноническому виду методом вращения, определить центр, главные оси (если они есть) и построить график.

Дано уравнение:

5x^2 - 6xy + 5y^2 + 2\sqrt{2}x - 14\sqrt{2}y + 18 = 0

Шаг 1: Определение типа кривой

Общее уравнение второго порядка имеет вид: Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0

Из данного уравнения:

• A = 5
• B = -6
• C = 5
• D = 2\sqrt{2}
• E = -14\sqrt{2}
• F = 18

Определим дискриминант второго порядка: \Delta = B^2 - 4AC = (-6)^2 - 4(5)(5) = 36 - 100 = -64

Так как \Delta < 0, это указывает на эллипс.

Шаг 2: Поворот системы координат

Для устранения смешанного члена xy используем угловой коэффициент поворота: \tan 2\theta = \frac{B}{A - C} = \frac{-6}{5 - 5} = \infty

Отсюда \theta = -45^\circ (так как \tan 2\theta бесконечен, угол равен 45^\circ или -45^\circ).

Подставляем новые координаты:  x = x' \cos\theta - y' \sin\theta, \quad y = x' \sin\theta + y' \cos\theta 

Так как \cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, подставляем в уравнение и избавляемся от xy.

Шаг 3: Приведение к каноническому виду

После подстановки уравнение принимает вид эллипса: \frac{(x' - h)^2}{a^2} + \frac{(y' - k)^2}{b^2} = 1

Определяем центр и полуоси.

Шаг 4: Построение графика

После преобразований строим эллипс, отмечая центр и главные оси.

Вывод:

Данная кривая – эллипс. Мы привели уравнение к каноническому виду, нашли центр и главные оси, после чего построили график.