Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить её

Задача: Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить её.

Уравнение: \[ 9y - 4x - x^2 - 4 = 0 \] Этот пример относится к аналитической геометрии и конкретно к разделу, связанному с уравнениями кривых на плоскости.

Шаг 1. Преобразование уравнения

Начнём с того, что перепишем его в стандартной алгебраической форме: \[ 9y = x^2 + 4x + 4 \]

Приведём выражение для \( y \) в явной форме: \[ 9y = x^2 + 4x + 4 \]

Разделим обе части на 9: \[ y = \frac{1}{9}(x^2 + 4x + 4) \]

Теперь преобразуем трёхчлен в правой части уравнения. Это стандартный полный квадрат. Можно расписать: \[ x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \]

Таким образом, уравнение примет вид: \[ y = \frac{1}{9}(x + 2)^2 \]

Шаг 2. Каноническая форма уравнения

Полученное уравнение: \[ y = \frac{1}{9}(x + 2)^2 \]

Это уравнение параболы. В стандартной канонической форме оно записывается как: \[ y = a(x - h)^2 + k \], где \( (h, k) \) — это вершина параболы, а \( a \) — коэффициент, который определяет, насколько быстро парабола "раскрывается".

В нашем уравнении:

• \( a = \frac{1}{9} \), то есть парабола раскрывается медленнее, чем стандартная (узкая форма),
• \( h = -2 \) — сдвиг параболы вдоль оси \( x \) на 2 единицы влево,
• \( k = 0 \) — сдвиг вдоль оси \( y \) отсутствует (ее вершина касается оси).

Шаг 3. Построение кривой

Это парабола, которая:

• открыта вверх (так как коэффициент \( a > 0 \)),
• имеет вершину в точке \( (-2, 0) \).

Ширина раскрытия определяется коэффициентом \( \frac{1}{9} \), что делает параболу относительно "плоской".

Шаг 4. Краткий итог

• Уравнение приведено к каноническому виду: \[ y = \frac{1}{9}(x + 2)^2 \]
• График кривой: Это парабола с вершиной в точке \( (-2, 0) \), открытая вверх, с медленным раскрытием (за счёт коэффициента \( \frac{1}{9} \)).

Для её построения возьмём несколько точек для подстановки и определения координат:

1. Вершина при \( x = -2 \), \( y = 0 \).
2. При \( x = -1 \), \( y = \frac{1}{9} \).
3. При \( x = -3 \), \( y = \frac{1}{9} \).
4. При \( x = 0 \), \( y = \frac{16}{9} \).

Все найденные точки лежат на параболе. График выглядит как симметричная парабола относительно вертикальной оси, проходящей через вершину \( (-2, 0) \).