Привести уравнение к каноническому виду и построить соответствующую кривую на плоскости

Предмет: Аналитическая геометрия

Раздел: Исследование уравнений кривых второго порядка

Дано уравнение: \[ x^2 + 8x + y + 15 = 0 \]

Задача состоит в том, чтобы привести уравнение к каноническому виду и построить соответствующую кривую на плоскости.

1. Приведение уравнения к каноническому виду

Для начала выполним приведение квадратного выражения по \( x \) к полной квадратной форме.

1. Группируем члены с \( x \) и собираем квадрат:

   \[ x^2 + 8x \quad (нужно представить в виде полного квадрата). \]

   Для этого находим удвоенное произведение среднего члена:

   \[ 8 = 2ab \quad \Longrightarrow \quad a = 4 \quad (значит, выражение преобразуем как \ (x+4)^2). \]

   Теперь раскрываем полный квадрат:

   \[ x^2 + 8x = (x+4)^2 - 16. \]

2. Подставляем это выражение обратно в уравнение:

   \[ (x+4)^2 - 16 + y + 15 = 0. \]

3. Упрощаем:

   \[ (x+4)^2 + y - 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (x+4)^2 = 1 - y. \]

   Это уравнение описывает параболу в стандартном виде:

   \[ (x + 4)^2 = 1 - y, \]

   или при лёгком преобразовании:

   \[ y = 1 - (x+4)^2. \]

2. Построение кривой

Теперь можно построить параболу с вершиной в точке \((-4, 1)\). Основание параболы направлено вниз, так как минус перед квадратным членом говорит о том, что ветви параболы «смотрят вниз».

3. Вывод

Уравнение было приведено к каноническому виду \( y = 1 - (x+4)^2 \), что описывает параболу с вершиной в точке \((-4, 1)\).