Привести уравнение к каноническому виду и построить соответствующую кривую на плоскости

Предмет: Аналитическая геометрия

Раздел: Исследование уравнений кривых второго порядка

Дано уравнение: $\text{[}{x}^2+8x+y+15=0\text{]}$

Задача состоит в том, чтобы привести уравнение к каноническому виду и построить соответствующую кривую на плоскости.

1. Приведение уравнения к каноническому виду

Для начала выполним приведение квадратного выражения по $\text{(}x\text{)}$ к полной квадратной форме.

1. Группируем члены с $\text{(}x\text{)}$ и собираем квадрат:

   $\text{[}{x}^2+8x(нужнопредставитьввидеполногоквадрата).\text{]}$

   Для этого находим удвоенное произведение среднего члена:

   $\text{[}8=2ab⟹a=4(значит,выражениепреобразуемкак(x+4{)}^2).\text{]}$

   Теперь раскрываем полный квадрат:

   $\text{[}{x}^2+8x=(x+4{)}^2-16.\text{]}$

2. Подставляем это выражение обратно в уравнение:

   $\text{[}(x+4{)}^2-16+y+15=0.\text{]}$

3. Упрощаем:

   $\text{[}(x+4{)}^2+y-1=0⟹(x+4{)}^2=1-y.\text{]}$

   Это уравнение описывает параболу в стандартном виде:

   $\text{[}(x+4{)}^2=1-y,\text{]}$

   или при лёгком преобразовании:

   $\text{[}y=1-(x+4{)}^2.\text{]}$

2. Построение кривой

Теперь можно построить параболу с вершиной в точке $\text{(}(-4,1)\text{)}$. Основание параболы направлено вниз, так как минус перед квадратным членом говорит о том, что ветви параболы «смотрят вниз».

3. Вывод

Уравнение было приведено к каноническому виду $\text{(}y=1-(x+4{)}^2\text{)}$, что описывает параболу с вершиной в точке $\text{(}(-4,1)\text{)}$.