Привести уравнение к каноническому уравнению с помощью параллельного переноса системы координат

Предмет: Математика, Раздел: Аналитическая геометрия.

Задача состоит в преобразовании данного уравнения квадратичной функции y = 3x^2 - 13x + 19 к каноническому виду с помощью параллельного переноса системы координат.

Каноническое уравнение параболы

Каноническое уравнение параболы имеет вид: y = a(x - x_0)^2 + y_0, где (x_0, y_0) — вершина параболы.

Для приведения уравнения к каноническому виду необходимо:

1. Найти координаты вершины параболы.
2. Выполнить параллельный перенос системы координат так, чтобы вершина стала началом новой системы координат.

Шаг 1. Найдем координаты вершины параболы

Координаты вершины параболы для уравнения y = ax^2 + bx + c находятся по формуле:

• x_0 = -\frac{b}{2a},
• y_0 = y(x_0).

В данном уравнении:

• a = 3,
• b = -13,
• c = 19.

Вычислим x_0:

x_0 = -\frac{-13}{2 \cdot 3} = \frac{13}{6}.

Подставим x_0 в исходное уравнение, чтобы найти y_0:

y_0 = 3\left(\frac{13}{6}\right)^2 - 13\left(\frac{13}{6}\right) + 19.

Выполним вычисления:

1. \left(\frac{13}{6}\right)^2 = \frac{169}{36},
2. 3 \cdot \frac{169}{36} = \frac{507}{36} = \frac{169}{12},
3. -13 \cdot \frac{13}{6} = -\frac{169}{6},
4. Приведем к общему знаменателю и вычислим: y_0 = \frac{169}{12} - \frac{338}{12} + \frac{228}{12} = \frac{59}{12}.

Итак, координаты вершины: \left(\frac{13}{6}, \frac{59}{12}\right).

Шаг 2. Преобразуем уравнение

Выполним параллельный перенос системы координат:

• Пусть u = x - \frac{13}{6},
• v = y - \frac{59}{12}.

Подставим выражение x = u + \frac{13}{6} в исходное уравнение.

Подстановка:

y = 3x^2 - 13x + 19, где x = u + \frac{13}{6}: v + \frac{59}{12} = 3\left(u + \frac{13}{6}\right)^2 - 13\left(u + \frac{13}{6}\right) + 19.

Раскроем скобки:

1. \left(u + \frac{13}{6}\right)^2 = u^2 + 2u \cdot \frac{13}{6} + \left(\frac{13}{6}\right)^2 = u^2 + \frac{26u}{6} + \frac{169}{36},
2. Подставим это в уравнение: v + \frac{59}{12} = 3\left(u^2 + \frac{26u}{6} + \frac{169}{36}\right) - 13\left(u + \frac{13}{6}\right) + 19,
3. Раскроем все множители:
   • 3u^2 + 3 \cdot \frac{26u}{6} + 3 \cdot \frac{169}{36} = 3u^2 + \frac{78u}{6} + \frac{507}{36},
   • -13u - \frac{169}{6},
   • Приведем к общему знаменателю оставшиеся части.

После упрощения: v = 3u^2.

Ответ:

Каноническое уравнение параболы после параллельного переноса системы координат: y = 3(x - \frac{13}{6})^2 + \frac{59}{12}.

В новой системе координат уравнение принимает вид: v = 3u^2, где u = x - \frac{13}{6} и v = y - \frac{59}{12}.