Привести данное уравнение к каноническому виду и построить линию

Предмет: Аналитическая геометрия

Раздел: Уравнение окружности

Задание: Привести уравнение \(x^2 + y^2 + 6y - 10x + 30 = 0\) к каноническому виду и построить линию.

1. Приведение уравнения к каноническому виду

Нам дано уравнение, которое на первый взгляд может представлять собой окружность. Для этого нам нужно привести его к стандартному или каноническому виду уравнения окружности:

\[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2\] где \((x_0, y_0)\) — центр окружности, а \(r\) — ее радиус.

Исходное уравнение:

\[x^2 + y^2 + 6y - 10x + 30 = 0\]

2. Группировка переменных

Рассмотрим отдельно \(x\)- и \(y\)-переменные, добавив и вычитая необходимые числа для тех членов уравнения, которые мы будем преобразовывать в полный квадрат.

Шаг 1: Группируем переменные \(x\) и \(y\):

\[x^2 - 10x + y^2 + 6y + 30 = 0\]

Шаг 2: Преобразуем квадратичные выражения.

Теперь воспользуемся методом дополнения до полного квадрата.

• Для \(x^2 - 10x\) добавим и вычтем \(\left(\frac{10}{2}\right)^2 = 25\):

  \[x^2 - 10x + 25 - 25\]

  Это преобразуется в полный квадрат:

  \[(x - 5)^2 - 25\]

• Для \(y^2 + 6y\) добавим и вычтем \(\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9\):

  \[y^2 + 6y + 9 - 9\]

  Это преобразуется в полный квадрат:

  \[(y + 3)^2 - 9\]

Шаг 3: Записываем преобразованное уравнение:

\[(x - 5)^2 - 25 + (y + 3)^2 - 9 + 30 = 0\]

Шаг 4: Упрощаем уравнение:

\[(x - 5)^2 + (y + 3)^2 - 4 = 0\]

\[(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 4\]

Теперь у нас уравнение в каноническом виде окружности:

\[(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 4\]

3. Интерпретация уравнения

4. Построение окружности

1. Центр окружности — точка с координатами \( (5, -3) \).
2. Радиус окружности — \(r = 2\).
   • Нарисуйте оси координат.
   • Отметьте точку \( (5, -3) \) — это центр окружности.
   • С помощью циркуля или на глаз начертите окружность радиусом \(r = 2\), центр которой находится в указанной точке.

Ответ:

1. Каноническое уравнение окружности: \((x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 4\)
2. Центр окружности — точка \( (5, -3) \), радиус — \(2\).
3. Построение окружности заключается в создании круга с центром \( (5, -3) \) и радиусом \(2\).

Уравнение \( (x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 4 \) — это уравнение окружности с центром в точке \( (5, -3) \) и радиусом \( r = \sqrt{4} = 2 \).