Приведите к каноническому виду уравнение второго порядка.

Пример 1:

Привести уравнение к каноническому виду, определить тип кривой и её эксцентриситет, изобразить ее на одном чертеже в старых и новых координатах:

4х²+25у²+8х -50у -71= 0

Решение от преподавателя:

Приводим квадратичную форму
B = 4x² + 25y²
к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы:

Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:
(4 - λ)x₁ + 0y₁ = 0
0x₁ + (25 - λ)y₁ = 0
Характеристическое уравнение:

λ² -29 λ + 100 = 0
D=(-29)² - 4*1*100=441


Исходное уравнение определяет эллипс (λ₁ > 0; λ₂ > 0)
Вид квадратичной формы:
4x² + 25y²
Выделяем полные квадраты:
для x₁:
4(x₁²+2*1x₁ + 1) -4*1 = 4(x₁+1)²-4
для y₁:
25(y₁²-2*1y₁ + 1) -25*1 = 25(y₁-1)²-25
В итоге получаем:
4(x₁+1)²+25(y₁-1)² = 100
Разделим все выражение на 100

Полуоси эллипса:
a = 5;b = 2
Данное уравнение определяет эллипс с центром в точке:
C(-1; 1)
Найдем координаты фокусов F₁(-c;0) и F₂(c;0), где c - половина расстояния между фокусами

Итак, фокусы эллипса:

С учетом центра, координаты фокусов равны:

Тогда эксцентриситет будет равен:

Вследствие неравенства c < a эксцентриситет эллипса меньше 1.

Пример 2:

Привести к каноническому виду линии второго порядка:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Приведите к каноническому виду уравнение второго порядка  и постройте линию, заданную этим уравнением.

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Привести кривую 2-го порядка к каноническому виду и построить её:

Решение от преподавателя:

Преобразуем данное уравнение:

Получили уравнение параболы с вершиной в точке , ветви которой направлены вверх.

Строим данную параболу.

Пример 5:

Привести к каноническому виду линии второго порядка:

Решение от преподавателя: