Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду и построении эллипса

Данная задача относится к предмету математика, а именно, к аналитической геометрии. Задача состоит в приведении уравнения второго порядка к каноническому виду и построении эллипса. Уравнение, которое дано, имеет вид: x^2 + 9y^2 + 4x - 54y + 76 = 0.

Для того, чтобы привести это уравнение к каноническому виду, сначала преобразуем его в стандартное уравнение эллипса.

Стандартное уравнение эллипса с центром в точке (h, k) и осями, параллельными координатным осям, выглядит следующим образом:

((x - h)^2 / a^2) + ((y - k)^2 / b^2) = 1,

где (h, k) — координаты центра эллипса, a и b — длины полуосей.

Давайте проведем пошаговое преобразование:

1. Группируем члены по x и y: (x^2 + 4x) + (9y^2 - 54y) = -76.

2. Завершаем квадрат для групп x и y:

   Для x: x^2 + 4x. Чтобы завершить квадрат, добавляем и вычитаем (4/2)^2 = 4: x^2 + 4x + 4 - 4 = (x + 2)^2 - 4.

   Для y: 9y^2 - 54y. Сначала вынесем 9 за скобки: 9(y^2 - 6y). Завершаем квадрат, добавив и вычтя (6/2)^2 = 9 внутри скобок: 9(y^2 - 6y + 9 - 9) = 9((y - 3)^2 - 9) = 9(y - 3)^2 - 81.

3. Заменим выражения из п.2 в исходное уравнение:

   (x + 2)^2 - 4 + 9(y - 3)^2 - 81 = -76.

   Переносим вычитание в правую часть: (x + 2)^2 + 9(y - 3)^2 = -76 + 4 + 81, (x + 2)^2 + 9(y - 3)^2 = 9.

4. Делим обе стороны уравнения на 9 для получения канонического вида:

   ((x + 2)^2 / 9) + ((y - 3)^2 / 1) = 1.

Это уравнение эллипса с центром в точке (-2, 3), где a^2 = 9, а b^2 = 1. Таким образом, полуоси эллипса: a = 3, b = 1.

Теперь, используя это уравнение, вы можете построить эллипс, где:

• Центр эллипса находится в точке (-2, 3),
• Большая полуось имеет длину 3 вдоль оси x,
• Малая полуось имеет длину 1 вдоль оси y.

Эллипс будет вытянут вдоль оси x.