Постройте график функции

Предмет: Математика. Раздел: Аналитическая геометрия и элементы функций (графики функций).

Построение графиков функций

Для того чтобы построить графики данных функций, разберем их по отдельности.

Первая функция: \[ y = e^{|\ln|x||} \]

1. Рассмотрим область определения:
   • Функция \(\ln|x|\) определена для \( x \neq 0 \), так как логарифм существует только для положительных аргументов.
   • Следовательно, область определения функции: \( x \in (-\infty, 0)\cup (0, \infty) \).
2. Рассмотрим свойства функции:
   • \(\ln |x|\) рассматривает модуль от \(x\), то есть, \(\ln |x|\) — это логарифм от положительного числа для любых \(x \neq 0\).
   • \(e^{|\ln |x||}\) означает, что мы возводим число \(e\) в степень без учета знака логарифма.
   • Поскольку \(|\ln |x||\) всегда неотрицательное число, значение экспоненты всегда больше или равно 1.
3. Симметрия:
   • Так как функция содержит модуль, она симметрична относительно оси \(y\).
4. Набор нескольких точек:
   • Для \(x = 1\): \(\ln |1| = 0\), \(y = e^0 = 1\).
   • При малых значениях \(x\) (например, \(x = 0.1\)): \(\ln |0.1| = -2.302...\), но модуль превращает его в положительное число, поэтому \(y = e^{2.302} \approx 10\).
   • Аналогично для отрицательных \(x\), значения функции будут такими же благодаря модулю.

Вторая функция: \[ y = 2\sqrt{|x + 1|} \]

1. Рассмотрим область определения:
   • Подкоренное выражение \( |x+1| \) должно быть неотрицательным. Так как модуль всегда неотрицателен, ограничений на область определения нет, \( x \in \mathbb{R} \) (вся числовая ось).
2. Анализ функции:
   • Модуль \( |x+1| \) влияет на симметрию. При \(x=-1\), модуль нуля приводит к \( y = 0\).
   • Для положительных \(x > -1\): \( y = 2\sqrt{x+1} \).
   • Для отрицательных \(x < -1\): \(y = 2\sqrt{-(x+1)} = 2\sqrt{-x-1}\).

Шаги по построению графиков:

1. Для функции \(y = e^{|\ln|x||}\):
   • График симметричен относительно оси \(Y\).
   • При \(x=1\), функция принимает значение \(y=1\) (точка \( (1,1)\)).
   • На отрезках \(0 < x < 1\) и \(x > 1\), функция быстро возрастает.
   • Для отрицательных \(x\), график будет зеркально отражен.
2. Для функции \(y = 2\sqrt{|x+1|}\):
   • Для \( x = -1 \), график проходит через точку \( (-1,0) \).
   • Для \( x > -1 \), функция похожа на параболу \( y = 2\sqrt{x+1} \), которая возрастает.
   • При \(x < -1\), начинается симметричное возрастание относительно оси \(x = -1\).

Графики обеих функций:

• Функция \(y = e^{|\ln|x||}\) имеет экспоненциальный рост и симметрию относительно оси \(y\).
• Функция \(y = 2\sqrt{|x+1|}\) имеет V-образную форму с вершиной в точке \(x=-1\).

Вы можете использовать графический калькулятор или программное обеспечение (например, desmos.com) для более точного построения графиков.