Построить цилиндрические поверхности

Предмет: Аналитическая геометрия

Раздел предмета: Трёхмерные поверхности, цилиндрические поверхности

Для того чтобы построить цилиндрические поверхности, рассмотрим каждое уравнение по отдельности. Цилиндрической называют поверхность, которая образуется при перемещении какой-либо кривой (называемой направляющей) вдоль прямой, которая называется образующей.

1. Уравнение:

\[\frac{x^2}{13} + \frac{y^2}{9} = 1\]

Это уравнение является уравнением эллипса в плоскости \(XOY\). Чтобы понять, что это цилиндрическая поверхность, заметим, что в уравнении отсутствует зависимость от переменной \(z\), значит форма эллипса повторяется одинаково на всех уровнях по \(z\), образуя эллиптический цилиндр.

Шаги построения:

• Это уравнение описывает эллипс с полуосями \(\sqrt{13}\) (по \(x\)) и 3 (по \(y\)) в плоскости \(XOY\).
• Этот эллипс повторяется в каждой плоскости, параллельно \(XOY\), при произвольных значениях \(z\).

Таким образом, мы получили эллиптический цилиндр с осью вдоль \(z\)-оси.

2. Уравнение:

\[\frac{y^2}{7} - \frac{z^2}{4} = 1\]

Это уравнение гиперболы в плоскости \(YOZ\), что легко увидеть по наличию разности квадратичных членов.

Шаги построения:

• Уравнение в \(YOZ\) плоскости описывает гиперболу с полуосями \(\sqrt{7}\) (по \(y\)) и 2 (по \(z\)).
• Нет зависимости от переменной \(x\), что говорит о том, что эта гипербола повторяется в каждой плоскости при произвольных значениях \(x\).

Таким образом, мы получили гиперболический цилиндр вдоль оси \(x\).

3. Уравнение:

\[x^2 = 2z\]

Это уравнение параболы в плоскости \(XOZ\).

Шаги построения:

• Уравнение описывает параболу с вершиной в начале координат (0,0,0), открывающуюся вдоль положительного направления оси \(z\).
• Нет зависимости от переменной \(y\), следовательно, эта парабола повторяется в каждой плоскости, параллельно \(XOZ\), при произвольных значениях \(y\).

Вывод:

1. Первое уравнение описывает эллиптический цилиндр с осью вдоль \(z\).
2. Второе уравнение описывает гиперболический цилиндр с осью вдоль \(x\).
3. Третье уравнение описывает параболический цилиндр с осью вдоль \(y\).

Таким образом, мы получили параболический цилиндр вдоль оси \(y\).