Построить кривую, заданную уравнением

Предмет: Математика
Раздел: Аналитическая геометрия

Нам нужно построить кривую, заданную уравнением:

x^2 + y^2 - 4x + 2y + 1 = 0.

Это уравнение второго порядка, которое, скорее всего, описывает окружность. Давайте преобразуем его в каноническую форму уравнения окружности, чтобы определить её центр и радиус.

Шаг 1. Преобразуем уравнение

Каноническая форма уравнения окружности выглядит так:

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2,

где (x_0, y_0) — центр окружности, а R — её радиус.

Для этого сгруппируем и выделим полный квадрат по переменным x и y.

Группируем члены по x:

x^2 - 4x.
Чтобы выделить полный квадрат, добавим и вычтем (\frac{-4}{2})^2 = 4: x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4.

Группируем члены по y:

y^2 + 2y.
Добавим и вычтем (\frac{2}{2})^2 = 1: y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1.

Теперь подставим это в исходное уравнение:

(x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 + 1 = 0.

Шаг 2. Упростим уравнение

Соберем свободные члены:

(x - 2)^2 + (y + 1)^2 - 4 - 1 + 1 = 0,
(x - 2)^2 + (y + 1)^2 - 4 = 0,
(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4.

Шаг 3. Интерпретация

Мы получили каноническую форму уравнения окружности:

(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4.

Отсюда:

• Центр окружности: (2, -1),
• Радиус окружности: R = \sqrt{4} = 2.

Шаг 4. Построение

1. На координатной плоскости отметьте точку центра окружности (2, -1).
2. Проведите окружность с радиусом R = 2, то есть на расстоянии 2 единиц от центра во всех направлениях.

Итог

Кривая, заданная уравнением x^2 + y^2 - 4x + 2y + 1 = 0, представляет собой окружность с центром в точке (2, -1) и радиусом 2.