Построить эллипс

Предмет: Математика, Раздел: Аналитическая геометрия

Задано уравнение эллипса в общем виде. Давайте преобразуем его к стандартному виду и построим эллипс.

Шаг 1. Уравнение эллипса

Дано:

4(x-1)^2 + 3(y+2)^2 = 48.

Разделим обе части уравнения на 48, чтобы получить правую часть равной 1:

\frac{4(x-1)^2}{48} + \frac{3(y+2)^2}{48} = 1.

Упростим дроби:

\frac{(x-1)^2}{12} + \frac{(y+2)^2}{16} = 1.

Теперь уравнение эллипса записано в стандартной форме:

\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1,

где (h, k) — центр эллипса, a^2 и b^2 — квадраты полуосей.

Шаг 2. Определение параметров эллипса

Сравнивая уравнение, видим:

• Центр эллипса: (h, k) = (1, -2),
• Квадраты полуосей: a^2 = 16, b^2 = 12.

Следовательно:

• Длина большой полуоси: a = \sqrt{16} = 4,
• Длина малой полуоси: b = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3.46.

Большая полуось (по оси y, так как a^2 > b^2) лежит вдоль вертикальной оси, а малая полуось вдоль горизонтальной оси.

Шаг 3. Построение эллипса

1. Центр эллипса: точка (1, -2).
2. Большая полуось (по оси y): от центра вверх и вниз на расстояние 4.
3. Малая полуось (по оси x): от центра вправо и влево на расстояние 2\sqrt{3} \approx 3.46.
4. Эллипс симметричен относительно центра.

Итоговое уравнение эллипса:

\frac{(x-1)^2}{12} + \frac{(y+2)^2}{16} = 1.

Для построения эллипса на графике:

• Отметьте центр (1, -2).
• Отложите по оси y вверх и вниз по 4.
• Отложите по оси x вправо и влево по 2\sqrt{3}.
• Соедините точки плавной кривой.