Построить чертеж треугольника в прямоугольной системе координат

Предмет: Геометрия
Раздел: Аналитическая геометрия на плоскости

Для решения задачи требуется:

1. Построить чертеж треугольника ( \triangle ABC ) в прямоугольной системе координат.
2. Найти:
   а) Уравнения прямых, содержащих стороны ( AB ) и ( BC ).
   б) Внутренний угол ( B ).
   в) Уравнение медианы ( AE ) и её длину.

Даны координаты:
( A(-7; 17) ), ( B(-14; -7) ), ( C(2; 5) ).

Решение:

1. Построение чертежа

Построим треугольник ( \triangle ABC ) в прямоугольной системе координат, отметив точки ( A ), ( B ), ( C ). (Чертеж можно выполнить на бумаге или в графическом редакторе).

2. Уравнения прямых сторон ( AB ) и ( BC )

Уравнение прямой на плоскости можно найти, используя общий вид:
y = kx + b,
где ( k ) — угловой коэффициент, вычисляется как:
k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.

Уравнение стороны ( AB ):

Координаты ( A(-7; 17) ), ( B(-14; -7) ).
Найдём ( k_{AB} ):
k_{AB} = \frac{-7 - 17}{-14 - (-7)} = \frac{-24}{-7} = \frac{24}{7}.

Подставим точку ( A(-7; 17) ) в уравнение ( y = kx + b ):
17 = \frac{24}{7} \cdot (-7) + b.
17 = -24 + b.
b = 41.

Уравнение прямой ( AB ):
y = \frac{24}{7}x + 41.

Уравнение стороны ( BC ):

Координаты ( B(-14; -7) ), ( C(2; 5) ).
Найдём ( k_{BC} ):
k_{BC} = \frac{5 - (-7)}{2 - (-14)} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}.

Подставим точку ( B(-14; -7) ) в уравнение ( y = kx + b ):
-7 = \frac{3}{4} \cdot (-14) + b.
-7 = -\frac{42}{4} + b.
-7 = -10.5 + b.
b = 3.5.

Уравнение прямой ( BC ):
y = \frac{3}{4}x + 3.5.

3. Внутренний угол ( B )

Косинус угла между двумя прямыми вычисляется по формуле:
\cos \varphi = \frac{|k_1 - k_2|}{\sqrt{1 + k_1^2} \cdot \sqrt{1 + k_2^2}},
где ( k_1 = \frac{24}{7} ), ( k_2 = \frac{3}{4} ).

Вычислим:
\cos \varphi = \frac{\left|\frac{24}{7} - \frac{3}{4}\right|}{\sqrt{1 + \left(\frac{24}{7}\right)^2} \cdot \sqrt{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2}}.

Приведём к общему знаменателю:
\frac{24}{7} - \frac{3}{4} = \frac{96}{28} - \frac{21}{28} = \frac{75}{28}.

Числитель:
\left|\frac{75}{28}\right| = \frac{75}{28}.

Знаменатель:
\sqrt{1 + \left(\frac{24}{7}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{576}{49}} = \sqrt{\frac{625}{49}} = \frac{25}{7},
\sqrt{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}.

Подставим:
\cos \varphi = \frac{\frac{75}{28}}{\frac{25}{7} \cdot \frac{5}{4}} = \frac{\frac{75}{28}}{\frac{125}{28}} = \frac{75}{125} = 0.6.

Найдём угол:
\varphi = \arccos(0.6) \approx 53.13^\circ.

Внутренний угол ( B ):
180^\circ - 53.13^\circ = 126.87^\circ.

4. Уравнение медианы ( AE ) и её длина

Медиана ( AE ) проходит через вершину ( A(-7; 17) ) и середину противоположной стороны ( BC ).

Найдём координаты середины ( E ):

E\left(\frac{x_B + x_C}{2}; \frac{y_B + y_C}{2}\right) = \left(\frac{-14 + 2}{2}; \frac{-7 + 5}{2}\right) = (-6; -1)\right).

Уравнение медианы ( AE ):

Найдём угловой коэффициент:
k_{AE} = \frac{-1 - 17}{-6 - (-7)} = \frac{-18}{1} = -18.

Подставим точку ( A(-7; 17) ):
17 = -18 \cdot (-7) + b.
17 = 126 + b.
b = -109.

Уравнение медианы ( AE ):
y = -18x - 109.

Длина медианы ( AE ):

Формула длины отрезка:
AE = \sqrt{(x_E - x_A)^2 + (y_E - y_A)^2}.

Подставим:
AE = \sqrt{(-6 - (-7))^2 + (-1 - 17)^2} = \sqrt{1^2 + (-18)^2} = \sqrt{1 + 324} = \sqrt{325} \approx 18.03.

Длина медианы ( AE ):
18.03.

Ответ:

а) Уравнения сторон:

• ( AB: y = \frac{24}{7}x + 41 ),
• ( BC: y = \frac{3}{4}x + 3.5 ).

б) Внутренний угол ( B ): ( 126.87^\circ ).

в) Уравнение медианы ( AE ): ( y = -18x - 109 ), её длина: ( 18.03 ).