Получить координаты центра тяжести системы

Предмет: Теоретическая механика (или Аналитическая геометрия)

Раздел предмета: Центр масс (или Центр тяжести)

Постановка задачи:

Имеется система из \(n\) материальных точек, каждая из которых задана своими координатами \((x_i, y_i, z_i)\) и весом \(p_i\). Требуется вычислить координаты центра тяжести этой системы точек.

Определение центра тяжести:

Центр тяжести (он же центр масс, если распределение массы однородно) можно определить по следующим формулам:

\[ X_{\text{ц}} = \frac{\sum_{i=1}^n p_i x_i}{\sum_{i=1}^n p_i} \]

\[ Y_{\text{ц}} = \frac{\sum_{i=1}^n p_i y_i}{\sum_{i=1}^n p_i} \]

\[ Z_{\text{ц}} = \frac{\sum_{i=1}^n p_i z_i}{\sum_{i=1}^n p_i} \]

Где:

• \(X_{\text{ц}}, Y_{\text{ц}}, Z_{\text{ц}}\) — это координаты центра тяжести системы;
• \(\sum_{i=1}^n p_i x_i\) — это взвешенная сумма координат \(x_i\);
• \(\sum_{i=1}^n p_i\) — это сумма всех весов точек.

Порядок решения задачи:

1. Найдем взвешенные суммы координат \(x_i, y_i, z_i\) по каждой оси, умножая координаты на соответствующие веса.
2. Найдем общую массу системы \(\sum_{i=1}^n p_i\).
3. Подставим значения в формулы для координат центра тяжести.

Подробное решение шаг за шагом:

1. Входные данные: последовательность \(x_1, y_1, z_1, p_1, x_2, y_2, z_2, p_2, \dots, x_n, y_n, z_n, p_n\). Например, пусть:

\[ n = 3 \]

Пусть точки заданы следующими координатами и весами:

\[ (x_1, y_1, z_1, p_1) = (1, 2, 3, 2) \]

\[ (x_2, y_2, z_2, p_2) = (4, 0, -1, 3) \]

\[ (x_3, y_3, z_3, p_3) = (0, 5, 2, 1) \]

2. Взвешенные суммы для каждой координаты:
• По оси \(x\): \[ \sum_{i=1}^n p_i x_i = 2 \times 1 + 3 \times 4 + 1 \times 0 = 14 \]
• По оси \(y\): \[ \sum_{i=1}^n p_i y_i = 4 + 5 = 9 \]
• По оси \(z\): \[ \sum_{i=1}^n p_i z_i = 6 - 3 + 2 = 5 \]
3. Сумма всех весов: \[ \sum_{i=1}^n p_i = 6 \]
4. Рассчитываем координаты центра тяжести:
• По оси \(x\): \[ X_{\text{ц}} = \frac{14}{6} \approx 2.333 \]
• По оси \(y\): \[ Y_{\text{ц}} = \frac{9}{6} = 1.5 \]
• По оси \(z\): \[ Z_{\text{ц}} = \frac{5}{6} \approx 0.833 \]

Ответ:

Координаты центра тяжести системы равны:

\[ X_{\text{ц}} \approx 2.333, \quad Y_{\text{ц}} = 1.5, \quad Z_{\text{ц}} \approx 0.833 \]

Вывод:

Мы вычис**ли центр тяжести системы материальных точек, используя данные о координатах и весах.