Предмет: Аналитическая геометрия.
Раздел: Векторы, компланарность векторов и разложение вектора по другим векторам.
Задание:
- Показать, что векторы \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) компланарны (то есть лежат в одной плоскости). Для этого необходимо, чтобы смешанное произведение этих векторов было равно нулю:
\[ [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0 \]
- Разложить вектор \( \vec{c} \) по векторам \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \):
\[ \vec{c} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} \]
Найти коэффициенты \( \alpha \) и \( \beta \).
Шаг 1: Показать компланарность векторов
Для начала, найдём смешанное произведение векторов \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \). Векторы заданы как:
\[ \vec{a} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}, \quad \vec{b} = 2\hat{i} - 3\hat{j} - 4\hat{k}, \quad \vec{c} = -3\hat{i} + 12\hat{j} + 6\hat{k} \]
Вычисление векторного произведения \( \vec{b} \times \vec{c} \)
Для этого воспользуемся матричным методом. Векторное произведение \( \vec{b} \times \vec{c} \) вычисляется по следующему определителю:
\[ \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & -4 \\ -3 & 12 & 6 \end{vmatrix} \]
Теперь найдём значение этого определителя:
\[ \vec{b} \times \vec{c} = \hat{i} \begin{vmatrix} -3 & -4 \\ 12 & 6 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ -3 & 6 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 12 \end{vmatrix} \]
Вычислим каждый из этих определителей по порядку:
-
Определитель для \( \hat{i} \):
\[ \begin{vmatrix} -3 & -4 \\ 12 & 6 \end{vmatrix} = (-3)(6) - (12)(-4) = -18 + 48 = 30 \]
-
Определитель для \( \hat{j} \):
\[ \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ -3 & 6 \end{vmatrix} = (2)(6) - (-4)(-3) = 12 - 12 = 0 \]
-
Определитель для \( \hat{k} \):
\[ \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 12 \end{vmatrix} = (2)(12) - (-3)(-3) = 24 - 9 = 15 \]
Таким образом, получаем:
\[ \vec{b} \times \vec{c} = 30\hat{i} - 0\hat{j} + 15\hat{k} = 30\hat{i} + 15\hat{k} \]
Найдём скалярное произведение \( \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) \):
\[ \vec{a} \cdot (30\hat{i} + 15\hat{k}) = (-1)(30) + (3)(0) + (2)(15) = -30 + 0 + 30 = 0 \]
Поскольку смешанное произведение равно 0, векторы \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) компланарны.
Шаг 2: Разложение вектора \( \vec{c} \) по векторам \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \)
Теперь найдем коэффициенты \( \alpha \) и \( \beta \), такие что:
\[ \vec{c} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} \]
Вектор \( \vec{c} \) и система векторов \( \vec{a}, \vec{b} \) имеет вид:
\[ \vec{c} = -3\hat{i} + 12\hat{j} + 6\hat{k} \]
\[ \vec{a} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k} \]
\[ \vec{b} = 2\hat{i} - 3\hat{j} - 4\hat{k} \]
Запишем систему уравнений для каждой компоненты:
- По \( \hat{i} \):
\[ -3 = \alpha (-1) + \beta (2) \quad \Rightarrow \quad -3 = -\alpha + 2\beta \]
- По \( \hat{j} \):
\[ 12 = \alpha (3) + \beta (-3) \quad \Rightarrow \quad 12 = 3\alpha - 3\beta \]
- По \( \hat{k} \):
\[ 6 = \alpha (2) + \beta (-4) \quad \Rightarrow \quad 6 = 2\alpha - 4\beta \]
Решим систему уравнений
- Первое уравнение:
\[ -3 = -\alpha + 2\beta \quad \Rightarrow \quad \alpha = 2\beta + 3 \]
- Подставляем \( \alpha = 2\beta + 3 \) в остальные уравнения. Второе уравнение:
\[ 12 = 3(2\beta + 3) - 3\beta \quad \Rightarrow \quad 12 = 6\beta + 9 - 3\beta \quad \Rightarrow \quad 12 = 3\beta + 9 \quad \Rightarrow \quad 3 = 3\beta \quad \Rightarrow \quad \beta = 1 \]
- Теперь подставим \( \beta = 1 \) в первое уравнение:
\[ \alpha = 2(1) + 3 = 5 \]
Ответ
Вектор \( \vec{c} \) можно разложить по векторам \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) следующим образом:
\[ \vec{c} = 5\vec{a} + \vec{b} \]