Показать, что векторы компланарны

Предмет: Аналитическая геометрия.
Раздел: Векторы, компланарность векторов и разложение вектора по другим векторам.

Задание:
  1. Показать, что векторы \(a,b,c\) компланарны (то есть лежат в одной плоскости). Для этого необходимо, чтобы смешанное произведение этих векторов было равно нулю: \[[a,b,c]=a(b×c)=0\]
  2. Разложить вектор \(c\) по векторам \(a\) и \(b\): \[c=αa+βb\] Найти коэффициенты \(α\) и \(β\).

Шаг 1: Показать компланарность векторов

Для начала, найдём смешанное произведение векторов \(a,b,c\). Векторы заданы как:

\[a=i^+3j^+2k^,b=2i^3j^4k^,c=3i^+12j^+6k^\]

Вычисление векторного произведения \(b×c\)

Для этого воспользуемся матричным методом. Векторное произведение \(b×c\) вычисляется по следующему определителю:

\[b×c=|i^j^k^2343126|\]

Теперь найдём значение этого определителя:

\[b×c=i^|34126|j^|2436|+k^|23312|\]

Вычислим каждый из этих определителей по порядку:

  1. Определитель для \(i^\): \[|34126|=(3)(6)(12)(4)=18+48=30\]
  2. Определитель для \(j^\): \[|2436|=(2)(6)(4)(3)=1212=0\]
  3. Определитель для \(k^\): \[|23312|=(2)(12)(3)(3)=249=15\]

Таким образом, получаем:

\[b×c=30i^0j^+15k^=30i^+15k^\]

Найдём скалярное произведение \(a(b×c)\):

\[a(30i^+15k^)=(1)(30)+(3)(0)+(2)(15)=30+0+30=0\]

Поскольку смешанное произведение равно 0, векторы \(a,b,c\) компланарны.


Шаг 2: Разложение вектора \(c\) по векторам \(a\) и \(b\)

Теперь найдем коэффициенты \(α\) и \(β\), такие что:

\[c=αa+βb\]

Вектор \(c\) и система векторов \(a,b\) имеет вид:

\[c=3i^+12j^+6k^\]

\[a=i^+3j^+2k^\]

\[b=2i^3j^4k^\]

Запишем систему уравнений для каждой компоненты:

  • По \(i^\): \[3=α(1)+β(2)3=α+2β\]
  • По \(j^\): \[12=α(3)+β(3)12=3α3β\]
  • По \(k^\): \[6=α(2)+β(4)6=2α4β\]
Решим систему уравнений
  1. Первое уравнение: \[3=α+2βα=2β+3\]
  2. Подставляем \(α=2β+3\) в остальные уравнения. Второе уравнение: \[12=3(2β+3)3β12=6β+93β12=3β+93=3ββ=1\]
  3. Теперь подставим \(β=1\) в первое уравнение: \[α=2(1)+3=5\]

Ответ

Вектор \(c\) можно разложить по векторам \(a\) и \(b\) следующим образом:

\[c=5a+b\]

Таким образом, коэффициенты \(α=5\) и \(β=1\).

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут