Показать, что векторы компланарны

Предмет: Аналитическая геометрия.

Раздел: Векторы, компланарность векторов и разложение вектора по другим векторам.

Задание:

1. Показать, что векторы \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) компланарны (то есть лежат в одной плоскости). Для этого необходимо, чтобы смешанное произведение этих векторов было равно нулю: \[ [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0 \]
2. Разложить вектор \( \vec{c} \) по векторам \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \): \[ \vec{c} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} \] Найти коэффициенты \( \alpha \) и \( \beta \).

Шаг 1: Показать компланарность векторов

Для начала, найдём смешанное произведение векторов \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \). Векторы заданы как:

\[ \vec{a} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}, \quad \vec{b} = 2\hat{i} - 3\hat{j} - 4\hat{k}, \quad \vec{c} = -3\hat{i} + 12\hat{j} + 6\hat{k} \]

Вычисление векторного произведения \( \vec{b} \times \vec{c} \)

Для этого воспользуемся матричным методом. Векторное произведение \( \vec{b} \times \vec{c} \) вычисляется по следующему определителю:

\[ \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & -4 \\ -3 & 12 & 6 \end{vmatrix} \]

Теперь найдём значение этого определителя:

\[ \vec{b} \times \vec{c} = \hat{i} \begin{vmatrix} -3 & -4 \\ 12 & 6 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ -3 & 6 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 12 \end{vmatrix} \]

Вычислим каждый из этих определителей по порядку:

1. Определитель для \( \hat{i} \): \[ \begin{vmatrix} -3 & -4 \\ 12 & 6 \end{vmatrix} = (-3)(6) - (12)(-4) = -18 + 48 = 30 \]
2. Определитель для \( \hat{j} \): \[ \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ -3 & 6 \end{vmatrix} = (2)(6) - (-4)(-3) = 12 - 12 = 0 \]
3. Определитель для \( \hat{k} \): \[ \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 12 \end{vmatrix} = (2)(12) - (-3)(-3) = 24 - 9 = 15 \]

Таким образом, получаем:

\[ \vec{b} \times \vec{c} = 30\hat{i} - 0\hat{j} + 15\hat{k} = 30\hat{i} + 15\hat{k} \]

Найдём скалярное произведение \( \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) \):

\[ \vec{a} \cdot (30\hat{i} + 15\hat{k}) = (-1)(30) + (3)(0) + (2)(15) = -30 + 0 + 30 = 0 \]

Поскольку смешанное произведение равно 0, векторы \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) компланарны.

Шаг 2: Разложение вектора \( \vec{c} \) по векторам \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \)

Теперь найдем коэффициенты \( \alpha \) и \( \beta \), такие что:

\[ \vec{c} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} \]

Вектор \( \vec{c} \) и система векторов \( \vec{a}, \vec{b} \) имеет вид:

\[ \vec{c} = -3\hat{i} + 12\hat{j} + 6\hat{k} \]

\[ \vec{a} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k} \]

\[ \vec{b} = 2\hat{i} - 3\hat{j} - 4\hat{k} \]

Запишем систему уравнений для каждой компоненты:

• По \( \hat{i} \): \[ -3 = \alpha (-1) + \beta (2) \quad \Rightarrow \quad -3 = -\alpha + 2\beta \]
• По \( \hat{j} \): \[ 12 = \alpha (3) + \beta (-3) \quad \Rightarrow \quad 12 = 3\alpha - 3\beta \]
• По \( \hat{k} \): \[ 6 = \alpha (2) + \beta (-4) \quad \Rightarrow \quad 6 = 2\alpha - 4\beta \]

Решим систему уравнений

1. Первое уравнение: \[ -3 = -\alpha + 2\beta \quad \Rightarrow \quad \alpha = 2\beta + 3 \]
2. Подставляем \( \alpha = 2\beta + 3 \) в остальные уравнения. Второе уравнение: \[ 12 = 3(2\beta + 3) - 3\beta \quad \Rightarrow \quad 12 = 6\beta + 9 - 3\beta \quad \Rightarrow \quad 12 = 3\beta + 9 \quad \Rightarrow \quad 3 = 3\beta \quad \Rightarrow \quad \beta = 1 \]
3. Теперь подставим \( \beta = 1 \) в первое уравнение: \[ \alpha = 2(1) + 3 = 5 \]

Ответ

Вектор \( \vec{c} \) можно разложить по векторам \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) следующим образом:

\[ \vec{c} = 5\vec{a} + \vec{b} \]

Таким образом, коэффициенты \( \alpha = 5 \) и \( \beta = 1 \).