Показать, что векторы компланарны

Предмет: Аналитическая геометрия.

Раздел: Векторы, компланарность векторов и разложение вектора по другим векторам.

Задание:

1. Показать, что векторы $\text{(}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\text{)}$ компланарны (то есть лежат в одной плоскости). Для этого необходимо, чтобы смешанное произведение этих векторов было равно нулю: $\text{[}[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]=\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=0\text{]}$
2. Разложить вектор $\text{(}\overrightarrow{c}\text{)}$ по векторам $\text{(}\overrightarrow{a}\text{)}$ и $\text{(}\overrightarrow{b}\text{)}$: $\text{[}\overrightarrow{c}=\alpha \overrightarrow{a}+\beta \overrightarrow{b}\text{]}$ Найти коэффициенты $\text{(}\alpha \text{)}$ и $\text{(}\beta \text{)}.$

Шаг 1: Показать компланарность векторов

Для начала, найдём смешанное произведение векторов $\text{(}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\text{)}.$ Векторы заданы как:

$\text{[}\overrightarrow{a}=-\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k},\overrightarrow{b}=2\hat{i}-3\hat{j}-4\hat{k},\overrightarrow{c}=-3\hat{i}+12\hat{j}+6\hat{k}\text{]}$

Вычисление векторного произведения $\text{(}\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\text{)}$

Для этого воспользуемся матричным методом. Векторное произведение $\text{(}\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\text{)}$ вычисляется по следующему определителю:

$\text{[}\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 2& -3& -4\\ -3& 12& 6\end{array}\right|\text{]}$

Теперь найдём значение этого определителя:

$\text{[}\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}=\hat{i}\left|\begin{array}{cc}-3& -4\\ 12& 6\end{array}\right|-\hat{j}\left|\begin{array}{cc}2& -4\\ -3& 6\end{array}\right|+\hat{k}\left|\begin{array}{cc}2& -3\\ -3& 12\end{array}\right|\text{]}$

Вычислим каждый из этих определителей по порядку:

1. Определитель для $\text{(}\hat{i}\text{)}:$ $\text{[}\left|\begin{array}{cc}-3& -4\\ 12& 6\end{array}\right|=(-3)(6)-(12)(-4)=-18+48=30\text{]}$
2. Определитель для $\text{(}\hat{j}\text{)}:$ $\text{[}\left|\begin{array}{cc}2& -4\\ -3& 6\end{array}\right|=(2)(6)-(-4)(-3)=12-12=0\text{]}$
3. Определитель для $\text{(}\hat{k}\text{)}:$ $\text{[}\left|\begin{array}{cc}2& -3\\ -3& 12\end{array}\right|=(2)(12)-(-3)(-3)=24-9=15\text{]}$

Таким образом, получаем:

$\text{[}\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}=30\hat{i}-0\hat{j}+15\hat{k}=30\hat{i}+15\hat{k}\text{]}$

Найдём скалярное произведение $\text{(}\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})\text{)}:$

$\text{[}\overrightarrow{a}\cdot (30\hat{i}+15\hat{k})=(-1)(30)+(3)(0)+(2)(15)=-30+0+30=0\text{]}$

Поскольку смешанное произведение равно 0, векторы $\text{(}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\text{)}$ компланарны.

Шаг 2: Разложение вектора $\text{(}\overrightarrow{c}\text{)}$ по векторам $\text{(}\overrightarrow{a}\text{)}$ и $\text{(}\overrightarrow{b}\text{)}$

Теперь найдем коэффициенты $\text{(}\alpha \text{)}$ и $\text{(}\beta \text{)},$ такие что:

$\text{[}\overrightarrow{c}=\alpha \overrightarrow{a}+\beta \overrightarrow{b}\text{]}$

Вектор $\text{(}\overrightarrow{c}\text{)}$ и система векторов $\text{(}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\text{)}$ имеет вид:

$\text{[}\overrightarrow{c}=-3\hat{i}+12\hat{j}+6\hat{k}\text{]}$

$\text{[}\overrightarrow{a}=-\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}\text{]}$

$\text{[}\overrightarrow{b}=2\hat{i}-3\hat{j}-4\hat{k}\text{]}$

Запишем систему уравнений для каждой компоненты:

• По $\text{(}\hat{i}\text{)}:$ $\text{[}-3=\alpha (-1)+\beta (2)\Rightarrow -3=-\alpha +2\beta \text{]}$
• По $\text{(}\hat{j}\text{)}:$ $\text{[}12=\alpha (3)+\beta (-3)\Rightarrow 12=3\alpha -3\beta \text{]}$
• По $\text{(}\hat{k}\text{)}:$ $\text{[}6=\alpha (2)+\beta (-4)\Rightarrow 6=2\alpha -4\beta \text{]}$

Решим систему уравнений

1. Первое уравнение: $\text{[}-3=-\alpha +2\beta \Rightarrow \alpha =2\beta +3\text{]}$
2. Подставляем $\text{(}\alpha =2\beta +3\text{)}$ в остальные уравнения. Второе уравнение: $\text{[}12=3(2\beta +3)-3\beta \Rightarrow 12=6\beta +9-3\beta \Rightarrow 12=3\beta +9\Rightarrow 3=3\beta \Rightarrow \beta =1\text{]}$
3. Теперь подставим $\text{(}\beta =1\text{)}$ в первое уравнение: $\text{[}\alpha =2(1)+3=5\text{]}$

Ответ

Вектор $\text{(}\overrightarrow{c}\text{)}$ можно разложить по векторам $\text{(}\overrightarrow{a}\text{)}$ и $\text{(}\overrightarrow{b}\text{)}$ следующим образом:

$\text{[}\overrightarrow{c}=5\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\text{]}$

Таким образом, коэффициенты $\text{(}\alpha =5\text{)}$ и $\text{(}\beta =1\text{)}$.