По координатам вершины пирамиды А1А2А3А4 найти: угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3

Предмет: Аналитическая геометрия
Раздел: Геометрия в пространстве

Для решения задачи по аналитической геометрии в пространстве разобьем задание на пункты и будем решать их по порядку.

Дано:

Вершины пирамиды:
A_1(8,6,4), A_2(10,5,5), A_3(5,6,8), A_4(8,10,7)

3. Угол между ребром A_1A_4 и гранью A_1A_2A_3

Шаг 1. Вектор \vec{A_1A_4}

Координаты вектора \vec{A_1A_4} находятся как разность координат точек A_4 и A_1:
\vec{A_1A_4} = (8-8, 10-6, 7-4) = (0, 4, 3).

Шаг 2. Векторное уравнение плоскости A_1A_2A_3

Для нахождения уравнения плоскости найдем два направляющих вектора в плоскости:
\vec{A_1A_2} = (10-8, 5-6, 5-4) = (2, -1, 1),
\vec{A_1A_3} = (5-8, 6-6, 8-4) = (-3, 0, 4).

Теперь найдем векторное произведение \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3}, которое будет нормальным вектором плоскости:
 \vec{n} = \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 2 & -1 & 1 \ -3 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \vec{i} \begin{vmatrix} -1 & 1 \ 0 & 4 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 2 & 1 \ -3 & 4 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 2 & -1 \ -3 & 0 \end{vmatrix}. 

Раскроем определители:
 \vec{n} = \vec{i}((-1)(4) - (1)(0)) - \vec{j}((2)(4) - (1)(-3)) + \vec{k}((2)(0) - (-1)(-3)). 

 \vec{n} = \vec{i}(-4) - \vec{j}(8 + 3) + \vec{k}(0 - 3). 

 \vec{n} = (-4, -11, -3). 

Шаг 3. Косинус угла между ребром и плоскостью

Косинус угла между вектором \vec{A_1A_4} и плоскостью A_1A_2A_3 определяется как:
\cos \theta = \frac{|\vec{A_1A_4} \cdot \vec{n}|}{|\vec{A_1A_4}| \cdot |\vec{n}|},
где \vec{n} — нормальный вектор плоскости.

1. Скалярное произведение \vec{A_1A_4} \cdot \vec{n}:
   \vec{A_1A_4} \cdot \vec{n} = (0)(-4) + (4)(-11) + (3)(-3) = 0 - 44 - 9 = -53.

2. Длина вектора \vec{A_1A_4}:
   |\vec{A_1A_4}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5.

3. Длина вектора \vec{n}:
   |\vec{n}| = \sqrt{(-4)^2 + (-11)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 121 + 9} = \sqrt{146}.

4. Подставим в формулу:
   \cos \theta = \frac{|(-53)|}{5 \cdot \sqrt{146}} = \frac{53}{5\sqrt{146}}.

Шаг 4. Угол между ребром и плоскостью

Найдем угол:
\theta = \arccos\left(\frac{53}{5\sqrt{146}}\right).

4. Площадь грани A_1A_2A_3

Площадь треугольника вычисляется как половина модуля векторного произведения двух направляющих векторов:
S = \frac{1}{2} |\vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3}|.

Мы уже нашли \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = (-4, -11, -3). Теперь найдем его длину:
 |\vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3}| = \sqrt{(-4)^2 + (-11)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 121 + 9} = \sqrt{146}. 

Подставим в формулу площади:
S = \frac{1}{2} \sqrt{146}.

6. Уравнение прямой A_1A_2

Уравнение прямой в пространстве можно задать в параметрической форме:
 \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}. 

Подставим координаты A_1(8,6,4) и A_2(10,5,5):
 \frac{x - 8}{10 - 8} = \frac{y - 6}{5 - 6} = \frac{z - 4}{5 - 4}. 

 \frac{x - 8}{2} = \frac{y - 6}{-1} = \frac{z - 4}{1}. 

Итак, уравнение прямой:
 \frac{x - 8}{2} = \frac{6 - y}{1} = z - 4. 

7. Уравнение плоскости A_1A_2A_3

Общее уравнение плоскости имеет вид:
Ax + By + Cz + D = 0,
где (A, B, C) — координаты нормального вектора.

Нормальный вектор мы уже нашли: \vec{n} = (-4, -11, -3). Подставим координаты точки A_1(8,6,4) в уравнение:
 -4x - 11y - 3z + D = 0. 

Подставим A_1(8,6,4):
 -4(8) - 11(6) - 3(4) + D = 0. 

 -32 - 66 - 12 + D = 0. 

 D = 110. 

Уравнение плоскости:
-4x - 11y - 3z + 110 = 0.

8. Уравнение высоты, опущенной из вершины A_4 на грань A_1A_2A_3

Высота — это прямая, проходящая через точку A_4 и перпендикулярная плоскости A_1A_2A_3.

Направляющий вектор высоты совпадает с нормальным вектором плоскости: \vec{n} = (-4, -11, -3).

Параметрическое уравнение высоты:
 x = 8 - 4t, \, y = 10 - 11t, \, z = 7 - 3t, 
где t — параметр.

Итак, уравнение высоты:
 \begin{cases} x = 8 - 4t, \ y = 10 - 11t, \ z = 7 - 3t. \end{cases} 

Если есть вопросы или нужно подробнее разобрать какой-то пункт, дайте знать!