Оставить уравнение прямой, проходящей через середину отрезка AB и перпендикулярной прямой AC

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия

Дано: Треугольник ABC с точками A(2; -2), B(4; -4), C(1; 2). Нужно составить уравнение прямой, проходящей через середину отрезка AB и перпендикулярной прямой AC.

1. Найдем середину отрезка AB:

Формула для середины отрезка: M_x = (x_1 + x_2) / 2, M_y = (y_1 + y_2) / 2.

Подставляем координаты точек A(2; -2) и B(4; -4):

M_x = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3

M_y = (-2 - 4) / 2 = -6 / 2 = -3

Итак, середина отрезка AB имеет координаты M(3; -3).

2. Найдем уравнение прямой AC:

Сначала найдем угловой коэффициент k прямой AC:

k = (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1) = (2 - (-2)) / (1 - 2) = 4 / -1 = -4

Уравнение прямой AC будет иметь вид: y = -4x + b.

Подставим координаты точки A(2; -2), чтобы найти b:

-2 = -4*2 + b

-2 = -8 + b

b = 6

Таким образом, уравнение прямой AC: y = -4x + 6.

3. Найдем уравнение прямой, перпендикулярной AC и проходящей через M(3; -3):

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет обратным и со знаком минус к угловому коэффициенту прямой AC. Следовательно, k' = 1/4.

Используем уравнение прямой: y - y_1 = k'(x - x_1).

Подставляем M(3; -3) и k' = 1/4:

y + 3 = 1/4(x - 3)

Раскрываем скобки:

y + 3 = 1/4x - 3/4

Приводим к стандартному виду:

y = 1/4x - 3/4 - 3

y = 1/4x - 3/4 - 12/4

y = 1/4x - 15/4

Окончательное уравнение искомой прямой: y = 1/4x - 15/4.