Определите тип кривой второго порядка, составьте её каноническое уравнение, найдите каноническую систему координат. Изобразите кривую:

Предмет: Аналитическая геометрия

Раздел: Кривые второго порядка (гипербола)

Шаг 1: Определение основных параметров гиперболы

У нас есть гипербола с двумя ветвями, и различные параметры заданы в задаче. Давайте разберем их:

1. Расстояние между вершинами гиперболы равно 10. Вершины гиперболы расположены на действительной (вещественной) оси, и их расстояние \(2a\). Следовательно, \( 2a = 10 \), и отсюда \( a = 5 \).
2. Расстояние между фокусами равно 12. В гиперболе фокусы расположены на расстоянии \(2c\), соответственно, \( 2c = 12 \), отсюда \( c = 6 \).
3. Длина действительной оси равна 1. Это нам уже известно из первой части, где мы нашли \( a = 5 \), однако дополнительная информация о длине действительной оси уточняет, что эта информация уже учтена в \( 2a = 10 \).
4. Эксцентриситет гиперболы равен \( e = \frac{7}{5} \). Эксцентриситет в гиперболе определяется как отношение \( e = \frac{c}{a} \). Из этого по формуле находим: \[ e = \frac{c}{a} = \frac{7}{5} \] Подставим \( a = 5 \): \[ c = e \cdot a = \frac{7}{5} \cdot 5 = 7 \] Однако ранее мы нашли, что \(c = 6\), поэтому это взаимоисключающее условие.

На данном этапе кажется, что данные задачи противоречат друг другу. Исходя из противоречий, уточните ключевую информацию.