Определите тип кривой второго порядка, составьте её каноническое уравнение, найдите каноническую систему координат

Мы имеем два уравнения второго порядка. Давайте разберемся с каждым уравнением отдельно.

Задание 6:

2x² + y² + 4x − 6y + 7 = 0. Это уравнение описывает кривую второго порядка. Нам нужно привести его к каноническому виду.

Шаг 1. Приведение уравнения к удобной форме через выделение квадратов.

Для начала соберем все члены с \(x\) и \(y\):

\[ 2x^2 + 4x + y^2 - 6y + 7 = 0. \]

Теперь выделим полный квадрат для \(x\) и \(y\).

Для \(x\):

\[ 2(x^2 + 2x) = 2((x + 1)^2 - 1) = 2(x + 1)^2 - 2. \]

Для \(y\):

\[ y^2 - 6y = (y - 3)^2 - 9. \]

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

\[ 2(x + 1)^2 - 2 + (y - 3)^2 - 9 + 7 = 0. \]

Упростим:

\[ 2(x + 1)^2 + (y - 3)^2 - 4 = 0. \]

Или:

\[ 2(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 4. \]

Шаг 2. Приведение к каноническому виду уравнения.

Разделим обе части на 4, чтобы привести уравнение к нормальной форме:

\[ \frac{(x + 1)^2}{2} + \frac{(y - 3)^2}{4} = 1. \]

Это уравнение эллипса в каноническом виде.

Шаг 3. Выводы.

• У нас получился эллипс.
• Его каноническое уравнение: \(\frac{(x + 1)^2}{2} + \frac{(y - 3)^2}{4} = 1.\)
• Центр эллипса: (-1, 3).
• Большая полуось (по оси \(y\)): 2.
• Малая полуось (по оси \(x\)): \(\sqrt{2}\).

Задание 8:

2x² − 12x + 9 + 18y = 0. Это уравнение параболы. Приведем его к каноническому виду.

Шаг 1. Приведение к удобной форме.

Сгруппируем все члены по переменным:

\[ 2x^2 - 12x + 18y + 9 = 0. \]

Шаг 2. Выделим полный квадрат для \(x\).

Разделим уравнение на 2, чтобы упростить его:

\[ x^2 - 6x + 9 + 9y = 0. \]

Теперь выделим полный квадрат для \(x\):

\[ (x - 3)^2 + 9y = 0. \]

Упростим:

\[ (x - 3)^2 = -9y. \]

Шаг 3. Приведение к каноническому виду уравнения.

Шаг 4. Выводы.

• Тип кривой: парабола.
• Каноническое уравнение: \((x - 3)^2 = -9y\).
• Вершина параболы: (3, 0).

Графики кривых:

• Для эллипса: центр в точке (-1, 3), горизонтальная полуось \(\sqrt{2}\), вертикальная полуось 2.
• Для параболы: вершина в точке (3, 0), ветви направлены вниз.

Общие выводы:

• Уравнение 6 — эллипс, каноническое уравнение: \(\frac{(x + 1)^2}{2} + \frac{(y - 3)^2}{4} = 1\).
• Уравнение 8 — парабола, каноническое уравнение: \((x - 3)^2 = -9y\).

\( (x - 3)^2 = -9y \) — это каноническое уравнение параболы, ветви которой направлены вниз.