Определение предмета и раздела:
Задание относится к предмету аналитическая геометрия, раздел кривые второго порядка.
Начнем выполнение задачи: Задано уравнение: \[ 12x^2 - 12x - 32y - 29 = 0 \]
Шаг 1: Определение типа кривой
Для того чтобы понять, к какому типу относится данное уравнение, надо привести его к более стандартному виду, что позволит определить вид кривой (это может быть окружность, эллипс, гипербола или парабола).
-
Перепишем уравнение:
\[ 12x^2 - 12x = 32y + 29 \]
Сначала сгруппируем члены с \(x\).
-
Приведение к полной квадрату:
Приведем уравнение относительно \(x\) к полному квадрату. Для этого выделим полный квадрат.
\[ 12x^2 - 12x = 12(x^2 - x) \]
Теперь в скобках нужно выделить полный квадрат. Явное квадратное выражение \(x^2 - x\) можно переписать, добавив и вычитав половину квадрата коэффициента при \(x\).
Коэффициент при \(x\) в выражении \(x^2 - x\) равен \(-1\). Половина от этого числа \(\frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}\), а его квадрат \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\).
Добавляем и вычитаем это значение внутри скобок:
\[ 12(x^2 - x) = 12\left[\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}\right] \]
Теперь раскроем скобки:
\[ 12\left[\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}\right] = 12\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - 12 \cdot \frac{1}{4} \]
\[ 12\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - 3 \]
Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:
\[ 12\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - 3 = 32y + 29 \]
-
Решаем относительно \(y\):
Переносим константы вправо:
\[ 12\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = 32y + 29 + 3 \]
\[ 12\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = 32y + 32 \]
Разделим обе стороны на 32, чтобы выразить \(y\):
\[ \frac{12}{32}\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = y + 1 \]
Упростим дробь \(\frac{12}{32} = \frac{3}{8}\):
\[ \frac{3}{8}\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = y + 1 \]
Или:
\[ y = \frac{3}{8}\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - 1 \]
Шаг 2: Определение типа кривой
Это уравнение имеет вид:
\[ y = a(x - x_0)^2 + y_0 \]
где \(a = \frac{3}{8}\), \(x_0 = \frac{1}{2}\), и \(y_0 = -1\).
Это уравнение параболы с вертикальной осью симметрии. Следовательно, данная кривая — это парабола.
Шаг 3: Каноническое уравнение и каноническая система координат
Каноническое уравнение параболы имеет вид:
\[ y = a(x - x_0)^2 + y_0 \]
Мы уже привели уравнение к каноническому виду. Таким образом, каноническое уравнение параболы:
\[ y = \frac{3}{8}(x - \frac{1}{2})^2 - 1 \]