Определите тип кривой второго порядка составьте ее каноническое уравнение

Предмет: Алгебра / Аналитическая геометрия

Раздел: Кривые второго порядка (конику)

Задано уравнение второй степени: \[ 6x^2 + 6y^2 + 6x - 2y - 1 = 0 \]

Наша задача:

1. Определить тип кривой.
2. Составить каноническое уравнение.
3. Найти каноническую систему координат.

Шаг 1. Приведение уравнения к упрощенному виду

Для начала сгруппируем члены, зависящие от \(x\) и \(y\):

\[ 6(x^2 + \frac{x}{1} ) + 6(y^2 - \frac{y}{3}) = 1 \]

Чтобы продолжить, выделим полные квадраты.

Шаг 2. Выделение полных квадратов

Для переменной \(x\):

Выделим полный квадрат для выражения \(x^2 + x\):

\[ x^2 + x = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} \]

Для переменной \(y\):

Выделим полный квадрат для выражения \(y^2 - \frac{y}{3}\):

\[ y^2 - \frac{y}{3} = \left( y - \frac{1}{6} \right)^2 - \frac{1}{36} \]

Подставим это в уравнение:

\[ 6\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} \right) + 6\left( \left( y - \frac{1}{6} \right)^2 - \frac{1}{36} \right) = 1 \]

Раскроем скобки:

\[ 6\left(x + \frac{1}{2} \right)^2 - 6 \cdot \frac{1}{4} + 6 \left( y - \frac{1}{6} \right)^2 - 6 \cdot \frac{1}{36} = 1 \]

Посчитаем константы:

\[ -\frac{6}{4} = -1.5, \quad -\frac{6}{36} = -\frac{1}{6} \]

Теперь у нас:

\[ 6\left(x + \frac{1}{2} \right)^2 + 6 \left( y - \frac{1}{6} \right)^2 - 1.5 - \frac{1}{6} = 1 \]

Приведем сумму констант:

\[ -1.5 - \frac{1}{6} = -\frac{9}{6} - \frac{1}{6} = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3} \]

Теперь уравнение примет вид:

\[ 6\left(x + \frac{1}{2} \right)^2 + 6 \left( y - \frac{1}{6} \right)^2 = 1 + \frac{5}{3} \]

\[ 6\left(x + \frac{1}{2} \right)^2 + 6 \left( y - \frac{1}{6} \right)^2 = \frac{3}{3} + \frac{5}{3} = \frac{8}{3} \]

Шаг 3. Приведение уравнения к каноническому виду

Поделим всё уравнение на 6, чтобы упростить:

\[ \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \left( y - \frac{1}{6} \right)^2 = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \]

Наше уравнение теперь:

\[ \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \left( y - \frac{1}{6} \right)^2 = \frac{2}{3} \]

Шаг 4. Вывод

1. Тип кривой: Окружность.
2. Каноническое уравнение окружности: \[ \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \left( y - \frac{1}{6} \right)^2 = \frac{2}{3} \]
3. Каноническая система координат: это система с центром новой окружности в точке \(\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{6}\right)\).

Это уравнение окружности с центром в точке \(\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{6}\right)\) и радиусом \(\sqrt{\frac{2}{3}}\).