Определить взаимное расположение кривой второго порядка и прямой, построить их на плоскости

Данное задание относится к предмету "Геометрия" или "Аналитическая геометрия", раздел "Кривые второго порядка". Определим взаимное расположение кривой второго порядка и прямой. В данном случае у нас есть эллипс и вертикальная прямая.

1. Анализ кривой:

Кривая второго порядка задана уравнением:

4x^2 + 16x + 25y^2 - 50y - 59 = 0

Это уравнение эллипса. Приведем его к стандартному виду для лучшего понимания, каким эллипсом оно является. Сгруппируем члены с x и y:

4(x^2 + 4x) + 25(y^2 - 2y) = 59

Завершим квадрат для обеих скобок:

x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4

y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1

Подставим в уравнение:

4((x + 2)^2 - 4) + 25((y - 1)^2 - 1) = 59

4(x + 2)^2 - 16 + 25(y - 1)^2 - 25 = 59

4(x + 2)^2 + 25(y - 1)^2 = 100

После деления на 100, получаем уравнение эллипса в стандартном виде:

(x + 2)^2/25 + (y - 1)^2/4 = 1

Это эллипс с центром в точке (-2, 1), большой полуосью горизонтального направления равной 5, и малой полуосью вертикального направления равной 2.

2. Анализ прямой:

Прямая задана уравнением:

x + 3 = 0, или x = -3

Это вертикальная прямая, проходящая через все точки, где x = -3.

3. Взаимное расположение:

Чтобы определить, пересекаются ли эллипс и прямая, подставим x = -3 в уравнение эллипса и посмотрим, есть ли решения для y:

(-3 + 2)^2/25 + (y - 1)^2/4 = 1

(1)^2/25 + (y - 1)^2/4 = 1

1/25 + (y - 1)^2/4 = 1

(y - 1)^2/4 = 1 - 1/25

(y - 1)^2 / 4 = 24/25

(y - 1)^2 = 96/25

y - 1 = ±√(96/25)

y = 1 ± √(96/25)

y ≈ 1 ± 1.959

Так как длина оси эллипса от центра есть, действительно, для каждого из двух значений y, возможны две точки пересечения эллипса и прямой, x = -3:

y ≈ 2.959 или y ≈ -0.959

Таким образом, эллипс и прямая пересекаются в двух точках на плоскости.

• Нарисуйте эллипс с центром в точке (-2, 1), горизонтальной полуосью длины 5 и вертикальной полуосью длины 2.
• Добавьте прямую x = -3, вертикальную линию, пересекающую эллипс в двух точках.

Для наглядного построения на плоскости: