Это задание из курса "Аналитическая геометрия", раздел "Кривые второго порядка". Необходимо определить вид кривых, заданных двумя уравнениями, и найти их основные характеристики.
Уравнение а)
\[ 4x^2 - 24x + y + 40 = 0 \]
- Перепишем уравнение:
\[ 4x^2 - 24x + y = -40 \]
Сгруппируем слагаемые с \( x \), выделим полный квадрат для этой переменной.
\[ 4(x^2 - 6x) + y = -40 \]
- Выделяем полный квадрат: Сделаем так, чтобы выражение \( x^2 - 6x \) было квадратом. Для этого добавим и вычтем \( 9 \) (заметим, что нужно добавить половину коэффициента при \( x \), возведенную в квадрат):
\[ 4((x - 3)^2 - 9) + y = -40 \]
Раскрывая скобки:
\[ 4(x - 3)^2 - 36 + y = -40 \]
Перенесем все свободные члены в правую часть:
\[ 4(x - 3)^2 + y = -40 + 36 \]
\[ 4(x - 3)^2 + y = -4 \]
Теперь выразим \( y \):
\[ y = -4(x - 3)^2 - 4 \]
- Вывод: Это уравнение параболы. Она имеет вид \( y = ax^2 + bx + c \), где \( a = -4\), \( b = 0 \), смещение по оси \( x \) — \( 3 \), по оси \( y \) — \( -4 \).
Основные характеристики параболы:
- Ось симметрии: прямая \( x = 3 \).
- Вершина: точка \( (3, -4) \).
- Ветви направлены вниз, так как \( a = -4 \) (отрицательное значение).
Уравнение б)
\[ 9x^2 - 16y^2 + 90x + 32y - 367 = 0 \]
- Перепишем уравнение и сгруппируем слагаемые:
\[ 9(x^2 + 10x) - 16(y^2 - 2y) = 367 \]
- Выделим полные квадраты:
- Для переменной \( x \): добавим и вычтем \( 25 \) (так как \( \left(\frac{10}{2}\right)^2 = 25 \)).
- Для переменной \( y \): добавим и вычтем \( 1 \) (так как \( \left(\frac{-2}{2}\right)^2 = 1 \)).
\[ 9((x + 5)^2 - 25) - 16((y - 1)^2 - 1) = 367 \]
Раскроем скобки:
\[ 9(x + 5)^2 - 225 - 16(y - 1)^2 + 16 = 367 \]
Приведем подобные числа:
\[ 9(x + 5)^2 - 16(y - 1)^2 = 367 + 225 - 16 \]
\[ 9(x + 5)^2 - 16(y - 1)^2 = 576 \]
- Приведем уравнение к каноническому виду: Разделим обе части на 576:
\[ \frac{9(x + 5)^2}{576} - \frac{16(y - 1)^2}{576} = 1 \]
\[ \frac{(x + 5)^2}{64} - \frac{(y - 1)^2}{36} = 1 \]
- Вывод: Это уравнение гиперболы, так как оно приведено к виду \( \frac{(x - x_0)^2}{a^2} - \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1 \).
Основные характеристики гиперболы:
- Центр гиперболы: \( (-5, 1) \).
- Полуоси: \( a = 8 \) (корень из 64), \( b = 6 \) (корень из 36).
- Оси симметрии: параллельны осям координат.
- Ветви направлены вдоль оси \( x \), так как имеется положительный знак при \( x \).
Ответ:
а) Парабола. Основные характеристики:
- Ось симметрии: \( x = 3 \).
- Вершина: \( (3, -4) \).
- Ветви направлены вниз.
- Центр: \( (-5, 1) \).
- Полуоси: \( a = 8 \), \( b = 6 \).
- Ветви направлены вдоль оси \( x \).