Определить уравнение плоскости

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия

Задача состоит в нахождении расстояния от точки \[M(1, 2, 3)\] до плоскости, которая задана тремя точками: \[A_1(1, -6, 6)\], \[A_2(-2, 8, 2)\] и \[A_3(6, 8, 9)\].

Шаг 1. Уравнение плоскости в общем виде

Плоскость в общем виде задается уравнением:

\[ Ax + By + Cz + D = 0, \]

где \[A\], \[B\], \[C\] — координаты нормального вектора плоскости (он перпендикулярен плоскости), а \[D\] — коэффициент.

Чтобы определить уравнение плоскости, нам нужно:

1. Найти нормальный вектор плоскости (через векторное произведение двух направляющих векторов плоскости).
2. Определить коэффициент \[D\], подставляя координаты одной из заданных точек плоскости.

Шаг 2. Найдем два направляющих вектора плоскости

Направляющие векторы можно получить, вычитая координаты точек \[A_1\], \[A_2\], \[A_3\]:

1. Вектор \[\vec{A_1A_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)\]: \[\vec{A_1A_2} = (-2 - 1, 8 - (-6), 2 - 6) = (-3, 14, -4).\]
2. Вектор \[\vec{A_1A_3} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1)\]: \[\vec{A_1A_3} = (6 - 1, 8 - (-6), 9 - 6) = (5, 14, 3).\]

Векторы \[\vec{A_1A_2} = (-3, 14, -4)\] и \[\vec{A_1A_3} = (5, 14, 3)\] лежат в плоскости. Их векторное произведение дает нормальный вектор плоскости.

Шаг 3. Найдем нормальный вектор плоскости

Векторное произведение двух векторов \[\vec{A_1A_2}\] и \[\vec{A_1A_3}\] вычисляется как определитель:

\[\vec{n} = \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 14 & -4 \\ 5 & 14 & 3 \\ \end{vmatrix}.\]

Выполним расчет:

\[\vec{n} = \mathbf{i} \cdot \begin{vmatrix} 14 & -4 \\ 14 & 3 \end{vmatrix} -\mathbf{j} \cdot \begin{vmatrix} -3 & -4 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} +\mathbf{k} \cdot \begin{vmatrix} -3 & 14 \\ 5 & 14 \end{vmatrix}.\]

Рассчитаем каждую составляющую:

• Для \[\mathbf{i}\]: \[\begin{vmatrix} 14 & -4 \\ 14 & 3 \end{vmatrix} = (14 \cdot 3) - (14 \cdot -4) = 42 + 56 = 98.\]
• Для \[\mathbf{j}\]: \[\begin{vmatrix} -3 & -4 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = ((-3) \cdot 3) - (5 \cdot -4) = -9 + 20 = 11.\]
• Для \[\mathbf{k}\]: \[\begin{vmatrix} -3 & 14 \\ 5 & 14 \end{vmatrix} = ((-3) \cdot 14) - (5 \cdot 14) = -42 - 70 = -112.\]

Подставляем:

\[\vec{n} = (98)\mathbf{i} - (11)\mathbf{j} + (-112)\mathbf{k}.\]

То есть, нормальный вектор:

\[\vec{n} = (98, -11, -112).\]

Шаг 4. Уравнение плоскости

Теперь запишем общее уравнение плоскости, подставляя нормальный вектор \[A = 98\], \[B = -11\], \[C = -112\]. Коэффициент \[D\] определяем, подставляя точку \[A_1(1, -6, 6)\]:

\[Ax + By + Cz + D = 0.\]

Подставляем:

\[98(1) + (-11)(-6) + (-112)(6) + D = 0.\]

Выполним расчеты:

\[98 + 66 - 672 + D = 0.\]

\[D = 672 - 98 - 66 = -504.\]

Поэтому уравнение плоскости:

\[98x - 11y - 112z - 504 = 0.\]

Шаг 5. Формула расстояния от точки до плоскости

Формула для расстояния \[d\] от точки \[M(x_0, y_0, z_0)\] до плоскости \[Ax + By + Cz + D = 0\]:

\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.\]

Подставляем \[M(1, 2, 3)\], \[A = 98\], \[B = -11\], \[C = -112\], \[D = -504\]:

\[d = \frac{|98(1) + (-11)(2) + (-112)(3) + (-504)|}{\sqrt{98^2 + (-11)^2 + (-112)^2}}.\]

В числителе:

\[98 - 22 - 336 - 504 = -764.\]

Берем модуль:

\[|-764| = 764.\]

В знаменателе:

\[\sqrt{98^2 + (-11)^2 + (-112)^2} = \sqrt{9604 + 121 + 12544} = \sqrt{22269}.\]

Итак:

\[d = \frac{764}{\sqrt{22269}}.\]

Приблизительное значение:

\[d \approx \frac{764}{149.23} \approx 5.12.\]

Ответ:

Расстояние от точки \[M(1, 2, 3)\] до плоскости равно примерно \[5.12\].