Определить точку на кривой в которой касательная к кривой перпендикулярна прямой

Предмет: Математика, раздел: Аналитическая геометрия

Задача: Определить точку на кривой y^2 = 2x^3, в которой касательная к кривой перпендикулярна прямой 4x - 3y + 2 = 0.

Решение:

1. Условие перпендикулярности касательной и прямой:

   Уравнение прямой задано в общем виде: 4x - 3y + 2 = 0.

   Коэффициенты A = 4 и B = -3 позволяют определить угловой коэффициент прямой: k_{\text{прямой}} = -\frac{A}{B} = -\frac{4}{-3} = \frac{4}{3}.

   Условие перпендикулярности гласит, что произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно -1. Пусть k_{\text{касательной}} — угловой коэффициент касательной, тогда: k_{\text{касательной}} \cdot k_{\text{прямой}} = -1, откуда: k_{\text{касательной}} = -\frac{1}{k_{\text{прямой}}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4}.

2. Нахождение углового коэффициента касательной к кривой:

   Уравнение кривой: y^2 = 2x^3.

   Найдем производную для получения углового коэффициента касательной. Дифференцируем обе части уравнения по x (применяя правило цепочки): \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(2x^3), 2y \frac{dy}{dx} = 6x^2.

   Выразим \frac{dy}{dx}: \frac{dy}{dx} = \frac{6x^2}{2y} = \frac{3x^2}{y}.

   Таким образом, угловой коэффициент касательной: k_{\text{касательной}} = \frac{3x^2}{y}.

3. Условие перпендикулярности:

   Подставим k_{\text{касательной}} = -\frac{3}{4}: \frac{3x^2}{y} = -\frac{3}{4}.

   Упростим это уравнение: 4x^2 = -y.

4. Подстановка в уравнение кривой:

   Уравнение кривой: y^2 = 2x^3.

   Подставим y = -4x^2: (-4x^2)^2 = 2x^3, 16x^4 = 2x^3.

   Упростим уравнение: 16x^4 - 2x^3 = 0, 2x^3(8x - 1) = 0.

   Решения:

   1. x = 0,
   2. 8x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{8}.

5. Нахождение соответствующих значений y:

   • При x = 0: y^2 = 2 \cdot 0^3 = 0 \implies y = 0. Точка: (0, 0).

   • При x = \frac{1}{8}: y^2 = 2 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^3 = 2 \cdot \frac{1}{512} = \frac{2}{512} = \frac{1}{256}, y = \pm\frac{1}{16}. Точки: \left(\frac{1}{8}, \frac{1}{16}\right) и \left(\frac{1}{8}, -\frac{1}{16}\right).

Ответ:

Касательная к кривой y^2 = 2x^3, перпендикулярная прямой 4x - 3y + 2 = 0, проходит через точки:

1. (0, 0),
2. \left(\frac{1}{8}, \frac{1}{16}\right),
3. \left(\frac{1}{8}, -\frac{1}{16}\right).