Определить тип поверхности, заданной уравнением, и построить её

Предмет и раздел:

Предмет: Аналитическая геометрия.
Раздел: Квадрики (квадратичные поверхности).

Задание:

Определить тип поверхности, заданной уравнением, и построить её.

Уравнение:

\[ 4x^2 + y^2 + z^2 = 8 \]

Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду

Для начала упростим уравнение и приведём его к стандартной форме. Разделим обе части уравнения на 8:

\[ \frac{4x^2}{8} + \frac{y^2}{8} + \frac{z^2}{8} = 1 \]

Шаг 2: Определение типа поверхности

Получившееся уравнение:

Это уравнение напоминает каноническую форму эллипсоида:

\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \]

Где в нашем случае:

• \(a^2 = 2 \Rightarrow a = \sqrt{2}\),
• \(b^2 = 8 \Rightarrow b = 2\sqrt{2}\),
• \(c^2 = 8 \Rightarrow c = 2\sqrt{2}\).

Таким образом, поверхность является эллипсоидом.

Шаг 3: Описание поверхности

Эллипсоид симметричен относительно всех трёх осей \(x\), \(y\) и \(z\), но имеет разные полуоси:

• Полуось вдоль оси \(x\) равна \(\sqrt{2}\).
• Полуось вдоль осей \(y\) и \(z\) равна \(2\sqrt{2}\).

Шаг 4: Построение поверхности

Чтобы построить эллипсоид, нужно указать следующие особенности:

1. Начало координат \(O(0, 0, 0)\) будет центром эллипсоида.
2. По оси \(x\) длина полуоси равна \(\sqrt{2}\) — это будет расстояние от центра до точек пересечения эллипсоида с осью \(x\).
3. По оси \(y\) и \(z\) полуоси равны \(2\sqrt{2}\).

Описание формы: Эллипсоид будет вытянут вдоль осей \(y\) и \(z\), и сжат вдоль оси \(x\).

Итог:

Тип поверхности - эллипсоид.

Уравнение в каноническом виде:

\[ \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{8} + \frac{z^2}{8} = 1 \]