Определить, при каких значениях а и b прямые имеют одну общую точку

Для начала определим предмет и раздел задачи. Это задача из линейной алгебры в курсе аналитической геометрии, связанная с системой линейных уравнений прямых на плоскости. Задание дано в форме двух уравнений прямых:

\[ ax - 2y - 1 = 0 \quad \text{(1)} \]
\[ 6x - y - b = 0 \quad \text{(2)} \]

Теперь поочередно проанализируем, при каких значениях параметров \(a\) и \(b\) прямые будут:

1. Иметь одну общую точку (пересекаться);
2. Совпадать;
3. Быть параллельными.

1. Прямые имеют одну общую точку (пересекаются).

Прямые пересекаются, если они не параллельны. Для определения параллельности прямых нужно рассмотреть их угловые коэффициенты. Итак, запишем уравнения прямых в коэффициентном виде:

Первое уравнение (1):

\[ ax - 2y - 1 = 0 \ \Rightarrow \ y = \frac{a}{2}x - \frac{1}{2}. \]

Второе уравнение (2):

\[ 6x - y - b = 0 \ \Rightarrow \ y = 6x - b. \]

Теперь сравним угловые коэффициенты (коэффициенты при \(x\)). Угловые коэффициенты для первой прямой равен \(\frac{a}{2}\), а для второй \(\ 6\). Чтобы прямые не были параллельны, их угловые коэффициенты должны быть различны, то есть:

\[ \frac{a}{2} \neq 6. \]

Умножим обе части на 2:

\[ a \neq 12. \]

Следовательно, при \(a \neq 12\), прямые пересекаются (имеют одну общую точку).

Ответ: при \( a \neq 12 \), прямые пересекаются.

2. Прямые совпадают.

Чтобы прямые совпадали, они должны быть коллинеарны и их свободные члены также должны быть пропорциональны.

Уравнения прямых:

Первая прямая:

\[ ax - 2y - 1 = 0. \]

Вторая прямая:

\[ 6x - y - b = 0. \]

Чтобы прямые были коллинеарны, их коэффициенты должны быть пропорциональны. Значит, необходимо соблюдение такой системы:

\[ \frac{a}{6} = \frac{-2}{-1} = \frac{-1}{-b}. \]

1. \(\frac{a}{6} = 2 \) \(\Rightarrow a = 12\).
2. \(\frac{-1}{-b} = 2 \Rightarrow b = \frac{1}{2}.\)

Таким образом, если \(a = 12\) и \(b = \frac{1}{2}\), прямые совпадают.

Ответ: при \(a = 12\) и \(b = \frac{1}{2}\), прямые совпадают.

3. Прямые параллельны.

Прямые будут параллельны, если их угловые коэффициенты совпадают, но свободные члены не пропорциональны. То есть угловые коэффициенты у прямых должны быть равны, но свободные члены при этом не будут пропорциональны.

Для параллельности:

1. Для угловых коэффициентов: \[ \frac{a}{2} = 6 \quad \Rightarrow a = 12. \]
2. Теперь нужно, чтобы свободные члены не были пропорциональны. Для этого \(b\) должно быть не равно \(\frac{1}{2}\).

Итог:

1. Прямые пересекаются при \(a \neq 12\).
2. Прямые совпадают при \(a = 12\) и \(b = \frac{1}{2}\).
3. Прямые параллельны при \(a = 12\) и \(b \neq \frac{1}{2}\).

Ответ: при \(a = 12\) и \(b \neq \frac{1}{2}\), прямые параллельны.