Определить, какое из предложенных декартовых произведений содержится в этом множестве

Предмет: Математика
Раздел: Аналитическая геометрия / Множества / Декартово произведение

Условие задачи:

Задано множество:

A = \{(x, y) \mid x, y \in \mathbb{R},\ 0 \leq x + y \leq 2\}

Нужно определить, какое из предложенных декартовых произведений содержится в этом множестве.

Шаг 1: Геометрическая интерпретация множества A

Неравенство 0 \leq x + y \leq 2 описывает полосу между двумя прямыми:

• x + y = 0 — прямая, проходящая через начало координат (нижняя граница множества)
• x + y = 2 — прямая, проходящая через точки (2, 0) и (0, 2) (верхняя граница множества)

Таким образом, множество A — это бесконечная полоса между этими двумя прямыми, но только в первой четверти, поскольку x, y \in \mathbb{R} не ограничены снизу, но в ответах даны только отрезки с неотрицательными координатами.

Шаг 2: Проверим каждое декартово произведение

1. [0;2] × [0;2]

   Проверим, содержится ли вся область в A. Возьмем точку (2,2):

   x + y = 2 + 2 = 4 > 2 — не принадлежит A.

   ❌ Не подходит.

2. [0;2] × [0;1]

   Проверим крайние точки:

   • (2,1): x + y = 3 > 2 — не принадлежит A.

3. ❌ Не подходит.

4. [0;1] × [0;1]

   Проверим крайние точки:

   • (0,0): x + y = 0 — принадлежит A.
   • (1,1): x + y = 2 — принадлежит A.
   • Любые другие точки в этом квадрате дают 0 \leq x + y \leq 2

5. ✅ Подходит.

6. [0;1] × [–1;1]

   Есть отрицательные значения y, например, (0, –1):

   x + y = -1 < 0 — не принадлежит A.

   ❌ Не подходит.

✅ Ответ:

3)\ [0;1] \times [0;1] — это декартово произведение содержится в множестве A.