Определить какие из векторов a(-5,0,5) в(1,1,1) с(1,0,0) d(2,5,0) являются единичными

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия, векторы.

Задание:

Какие из векторов \(\mathbf{a}(-5,0,5)\), \(\mathbf{b}(1,1,1)\), \(\mathbf{c}(1,0,0)\), \(\mathbf{d}(2,5,0)\) являются единичными?

Что такое единичный вектор?

Единичным вектором называют такой вектор, длина (или модуль) которого равна 1. Модуль (длину) вектора \(\mathbf{v}(x_1, y_1, z_1)\) можно вычислить по формуле: \[ |\mathbf{v}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \] Для того чтобы вектор был единичным, его модуль должен равняться 1: \( |\mathbf{v}| = 1 \).

Решение задачи шаг за шагом:

Посчитаем длины (модули) всех четырёх векторов.

1. Вектор \(\mathbf{a}(-5,0,5)\): \[ |\mathbf{a}| = \sqrt{(-5)^2 + 0^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 0 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7.07 \] Вектор \(\mathbf{a}\) не является единичным, так как \( |\mathbf{a}| \neq 1 \).
2. Вектор \(\mathbf{b}(1,1,1)\): \[ |\mathbf{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \] \(\sqrt{3} \approx 1.732\), это больше 1, поэтому вектор \(\mathbf{b}\) не является единичным.
3. Вектор \(\mathbf{c}(1,0,0)\): \[ |\mathbf{c}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1 \] \( |\mathbf{c}| = 1 \), следовательно, вектор \(\mathbf{c}\) является единичным вектором.
4. Вектор \(\mathbf{d}(2,5,0)\): \[ |\mathbf{d}| = \sqrt{2^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 25 + 0} = \sqrt{29} \] \(\sqrt{29} \approx 5.385\), это больше 1, значит, вектор \(\mathbf{d}\) не является единичным.

Ответ:

Из данных векторов единичным является только вектор \(\mathbf{c}(1,0,0)\).