Определить, для какого из этих отрезков точка M является серединой

Предмет: Геометрия

Раздел: Аналитическая геометрия

Нам даны три точки \( A(4, 2, 7) \), \( B(-2, 0, 5) \), и \( C(2, -2, 3) \), а также точка \( M(0, 3, 5) \). Задано определить, для какого из этих отрезков точка \( M \) является серединой.

1. Функция координат середины отрезка:

Координаты середины отрезка, сформированного точками с координатами \( (x_1, y_1, z_1) \) и \( (x_2, y_2, z_2) \), вычисляются по формуле:

\[ \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right) \]

Теперь последовательно проверим, для каких точек отрезков \( AB \), \( AC \), или \( BC \) точка \( M(0, 3, 5) \) является серединой.

2. Проверим отрезок \( AB \):

\( A(4, 2, 7), \quad B(-2, 0, 5) \)

Подставляем координаты \( A \) и \( B \) в формулу для середины отрезка:

\[ \left( \frac{4 + (-2)}{2}, \frac{2 + 0}{2}, \frac{7 + 5}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}, \frac{2}{2}, \frac{12}{2} \right) = (1, 1, 6) \]

Получили точку \( (1, 1, 6) \), которая не совпадает с точкой \( M(0, 3, 5) \).

3. Проверим отрезок \( AC \):

\( A(4, 2, 7), \quad C(2, -2, 3) \)

Подставляем координаты \( A \) и \( C \):

\[ \left( \frac{4 + 2}{2}, \frac{2 + (-2)}{2}, \frac{7 + 3}{2} \right) = \left( \frac{6}{2}, \frac{0}{2}, \frac{10}{2} \right) = (3, 0, 5) \]

Точка \( M(0, 3, 5) \) не совпадает с полученной точкой \( (3, 0, 5) \).

4. Проверим отрезок \( BC \):

\( B(-2, 0, 5), \quad C(2, -2, 3) \)

Подставляем координаты \( B \) и \( C \):

\[ \left( \frac{-2 + 2}{2}, \frac{0 + (-2)}{2}, \frac{5 + 3}{2} \right) = \left( \frac{0}{2}, \frac{-2}/2, \frac{8}{2} \right) = (0, -1, 4) \]

Точка \( (0, -1, 4) \) также не совпадает с точкой \( M(0, 3, 5) \).

5. Проверим любое оставшееся сочетание:

Если ни один отрезок не дал точку на пересечении, то необходимо продолжить проверку для других возможных пар точек.