Определение вида прямых: пересекающиеся, параллельные или скрещивающиеся

Разберём задание и поэтапно решим все четыре случая.

1. Определение вида прямых: пересекающиеся, параллельные или скрещивающиеся

Для выполнения этого, необходимо проверить взаимное расположение прямых, исходя из данных для каждого случая.

Задания №1 и №2 идут по параметрическим уравнениям прямых; равные координаты при разных параметрах покажут, пересекаются ли прямые.

Задания №3 и №4 даны в виде систем уравнений, где мы найдем их общее решение.

1. Исследование взаимного расположения прямых

1) Для первой пары прямых:

\[ x = 9t, \, y = 5t, \, z = -3 + t \] и \[ x = 27 - 9t, \, y = 15 - 5t, \, z = -t. \]

Для проверки пересечения прямых, нужно попытаться найти совпадающие точки, приравняв координаты.

Из первой уравнительной системы: 1. \( x = 9t, \)
2. \( y = 5t, \)
3. \( z = -3 + t. \)

Из второй системы: 1. \( x = 27 - 9t, \)
2. \( y = 15 - 5t, \)
3. \( z = -t. \)

Проверим пересечение прямых, сложив уравнения: 1. \( 9t = 27 - 9t \Rightarrow 18t = 27 \Rightarrow t = \frac{3}{2}. \)

Подставляем это значение в другие уравнения: 2. \( y = 5 \cdot \frac{3}{2} = 7.5 \).
3. Теперь для проверки: \( z = -3 + \frac{3}{2} = -1.5, \) а во втором уравнении: \( z = -\frac{3}{2} = -1.5. \)

Таким образом, \( t = \frac{3}{2} \) даёт совпадающие точки, следовательно, прямые пересекаются.

Теперь находим общую точку пересечения. Подставляя \( t = \frac{3}{2} \) в первое уравнение: \[ x = 13.5, \, y = 7.5, \, z = -1.5. \]

Точка пересечения: \( A(13.5; 7.5; -1.5) \).

Теперь найдём уравнение плоскости, проходящей через эти прямые. Для этого зададим координаты точки пересечения и направляющие векторы.

Пусть один направляющий вектор для первой прямой будет: \[ \vec{a} = (9, 5, 1). \]

Для второй прямой: \[ \vec{b} = (-9, -5, 0). \]

Найдем векторное произведение направляющих векторов, которое будет нормалью плоскости: \[ \vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 9 & 5 & 1 \\ -9 & -5 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(5 \cdot 0 - 1 \cdot (-5)) - \vec{j}(9 \cdot 0 - 1 \cdot (-9)) + \vec{k}(9 \cdot (-5) - 9 \cdot (-9)). \]

Получаем нормальный вектор: \[ \vec{n} = (5, -9, 36). \]

Подставим уравнение плоскости: \[ 5(x - 13.5) - 9(y - 7.5) + 36(z + 1.5) = 0. \]

Это и будет уравнение искомой плоскости.

Оставшиеся задачи (№2-4):

Решаются по аналогии: - Проверяем возможность пересечения прямых через уравнения;
- Если прямые пересекаются, находим общие точки;
- Если прямые пересекаются или параллельны, ищем уравнение плоскости по направляющим в векторам или уравнению уравнений.