Определение вида прямых: пересекающиеся, параллельные или скрещивающиеся

Разберём задание и поэтапно решим все четыре случая.
1. Определение вида прямых: пересекающиеся, параллельные или скрещивающиеся

Для выполнения этого, необходимо проверить взаимное расположение прямых, исходя из данных для каждого случая.

Задания №1 и №2 идут по параметрическим уравнениям прямых; равные координаты при разных параметрах покажут, пересекаются ли прямые.

Задания №3 и №4 даны в виде систем уравнений, где мы найдем их общее решение.

1. Исследование взаимного расположения прямых
1) Для первой пары прямых:

\[x=9t,y=5t,z=3+t\] и \[x=279t,y=155t,z=t.\]

Для проверки пересечения прямых, нужно попытаться найти совпадающие точки, приравняв координаты.

Из первой уравнительной системы: 1. \(x=9t,\)
2. \(y=5t,\)
3. \(z=3+t.\)

Из второй системы: 1. \(x=279t,\)
2. \(y=155t,\)
3. \(z=t.\)

Проверим пересечение прямых, сложив уравнения: 1. \(9t=279t18t=27t=32.\)

Подставляем это значение в другие уравнения: 2. \(y=532=7.5\).
3. Теперь для проверки: \(z=3+32=1.5,\) а во втором уравнении: \(z=32=1.5.\)

Таким образом, \(t=32\) даёт совпадающие точки, следовательно, прямые пересекаются.

Теперь находим общую точку пересечения. Подставляя \(t=32\) в первое уравнение: \[x=13.5,y=7.5,z=1.5.\]

Точка пересечения: \(A(13.5;7.5;1.5)\).

Теперь найдём уравнение плоскости, проходящей через эти прямые. Для этого зададим координаты точки пересечения и направляющие векторы.

Пусть один направляющий вектор для первой прямой будет: \[a=(9,5,1).\]

Для второй прямой: \[b=(9,5,0).\]

Найдем векторное произведение направляющих векторов, которое будет нормалью плоскости: \[n=a×b=|ijk951950|=i(501(5))j(901(9))+k(9(5)9(9)).\]

Получаем нормальный вектор: \[n=(5,9,36).\]

Подставим уравнение плоскости: \[5(x13.5)9(y7.5)+36(z+1.5)=0.\]

Это и будет уравнение искомой плоскости.

Оставшиеся задачи (№2-4):

Решаются по аналогии: - Проверяем возможность пересечения прямых через уравнения;
- Если прямые пересекаются, находим общие точки;
- Если прямые пересекаются или параллельны, ищем уравнение плоскости по направляющим в векторам или уравнению уравнений.

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут