Определение вида прямых: пересекающиеся, параллельные или скрещивающиеся

Разберём задание и поэтапно решим все четыре случая.

1. Определение вида прямых: пересекающиеся, параллельные или скрещивающиеся

Для выполнения этого, необходимо проверить взаимное расположение прямых, исходя из данных для каждого случая.

Задания №1 и №2 идут по параметрическим уравнениям прямых; равные координаты при разных параметрах покажут, пересекаются ли прямые.

Задания №3 и №4 даны в виде систем уравнений, где мы найдем их общее решение.

1. Исследование взаимного расположения прямых

1) Для первой пары прямых:

$\text{[}x=9t,y=5t,z=-3+t\text{]}$ и $\text{[}x=27-9t,y=15-5t,z=-t.\text{]}$

Для проверки пересечения прямых, нужно попытаться найти совпадающие точки, приравняв координаты.

Из первой уравнительной системы: 1. $\text{(}x=9t,\text{)}$
2. $\text{(}y=5t,\text{)}$
3. $\text{(}z=-3+t.\text{)}$

Из второй системы: 1. $\text{(}x=27-9t,\text{)}$
2. $\text{(}y=15-5t,\text{)}$
3. $\text{(}z=-t.\text{)}$

Проверим пересечение прямых, сложив уравнения: 1. $\text{(}9t=27-9t\Rightarrow 18t=27\Rightarrow t=\frac{3}{2}.\text{)}$

Подставляем это значение в другие уравнения: 2. $\text{(}y=5\cdot \frac{3}{2}=7.5\text{)}.$
3. Теперь для проверки: $\text{(}z=-3+\frac{3}{2}=-1.5,\text{)}$ а во втором уравнении: $\text{(}z=-\frac{3}{2}=-1.5.\text{)}$

Таким образом, $\text{(}t=\frac{3}{2}\text{)}$ даёт совпадающие точки, следовательно, прямые пересекаются.

Теперь находим общую точку пересечения. Подставляя $\text{(}t=\frac{3}{2}\text{)}$ в первое уравнение: $\text{[}x=13.5,y=7.5,z=-1.5.\text{]}$

Точка пересечения: $\text{(}A(13.5;7.5;-1.5)\text{)}.$

Теперь найдём уравнение плоскости, проходящей через эти прямые. Для этого зададим координаты точки пересечения и направляющие векторы.

Пусть один направляющий вектор для первой прямой будет: $\text{[}\overrightarrow{a}=(9,5,1).\text{]}$

Для второй прямой: $\text{[}\overrightarrow{b}=(-9,-5,0).\text{]}$

Найдем векторное произведение направляющих векторов, которое будет нормалью плоскости: $\text{[}\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ 9& 5& 1\\ -9& -5& 0\end{array}\right|=\overrightarrow{i}(5\cdot 0-1\cdot (-5))-\overrightarrow{j}(9\cdot 0-1\cdot (-9))+\overrightarrow{k}(9\cdot (-5)-9\cdot (-9)).\text{]}$

Получаем нормальный вектор: $\text{[}\overrightarrow{n}=(5,-9,36).\text{]}$

Подставим уравнение плоскости: $\text{[}5(x-13.5)-9(y-7.5)+36(z+1.5)=0.\text{]}$

Это и будет уравнение искомой плоскости.

Оставшиеся задачи (№2-4):

Решаются по аналогии: - Проверяем возможность пересечения прямых через уравнения;
- Если прямые пересекаются, находим общие точки;
- Если прямые пересекаются или параллельны, ищем уравнение плоскости по направляющим в векторам или уравнению уравнений.